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東京大学2015年前期数学第6問
todai_2015_math_q6.png

解説


(1)の段階でいいたいことを上手く捉えられなかった受験生も多かったのではないかと思います。種が分かってしまえばやっていることはすごく簡単です。(2)に関しては形作りのヒントは見えるものの,気づきにくいだろうと思います。私は5回受けたら1回ぐらい事故りそうです。

(1)
まずは,g(nx)がこうなることに気づけたか否かです(私はそもそもf(x)があるのに-1から1で積分とか評価しようがないじゃん!ってところから気づきました)。
todai_2015_math_a6_1.png
0に何をかけてもそれは0なので,
todai_2015_math_a6_2.png
g(nx)が常に0以上であることから,p≦f(x)≦qを使うと,
todai_2015_math_a6_3.png
最後のcosの計算は1周期の積分なので直交関数系を使って0となることを使っています。

(2)
(1)の利用ですが,g(x)がいません。うちのg(x)を探してください。って変なのりに解いててなりましたが,係数がnではなくn2になっていることがヒントになっており,h(x)がg(x)の微分であることに気づけたら勝ち確です(x=1とかでも微分可能な関数になっています。h(x)が連続ですよね)。
g(x)に戻したいので,部分積分します(n≧2とすると[]部分がばっさり消せるのでそう設定します)。
todai_2015_math_a6_4.png

積分の()部分をf(x)とみなせば,f(x)は単調増加関数であり,|x|≦1/nにおいて,
todai_2015_math_a6_5.png


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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