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東京大学2015年前期数学第1問
todai_2015_math_q1.png

解説


レベル的に期末試験ですね。試験会場でもノーストップで解いて欲しい問題です。解法も色々あります。

これ系はパラメータであるaの存在条件で解くのがよくある解法のひとつです。分数がキモイので変形します。
todai_2015_math_a1_1.png
忘れる受験生が多いですが,係数によって解き方が変わるので,そこで場合わけです。

(i)x=±1のとき
1次関数になります。a=の形にすると,a=1/4yでありこれが正ならば,y>0です。

(ii)|x|<1のとき
上に凸な2次関数になります。(0,1)を必ず通る関数なので(パラメータによらない固定点はかなり有用な情報なのでチェックを忘れないよう心がけましょう),上に凸な2次関数なので,a>0で解を1つ持ちます。よって全てのyで成立します。

(iii)|x|>1のとき
(0,1)を通る下に凸な2次関数なので,D≧0かつ軸>0が条件となります。したがって,
todai_2015_math_a1_2.png

(i)~(iii)より作図すると,
todai_2015_math_a1_6.png

となります(境界の実線部分は含むが点線は含まない)。

【別解答1】1変数固定法
todai_2015_math_a1_3.png
xを固定して最大値と最小値を求めてとり得るyの範囲を求めます。微分してもいいですが,|x|>1の時は相加相乗が早いです。
todai_2015_math_a1_4.png
となり,双曲線の上側がえられます。

x=±1のとき,y=1/4aなので,y>0です。
|x|<1のときはaの係数が負なので,a→0で+∞,a→∞で-∞になり,連続なので全てのyをとります。

【別解答2】包絡線(大学生向け)
問題の曲線をf(x,y,a)とすると,aに関わらず必ず接する曲線が包絡線です。求め方はf=0とfa=0を連立させてaを消去すればいいので,
todai_2015_math_a1_5.png
となり,|x|>1における包絡線が得られます。|x|≦1はなんか適当にやってください。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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