ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
東京大学2015年後期総合科目II第1問A
todai_2015_sogo2_q1_1.png
todai_2015_sogo2_q1_2.png


解説

数列を用いて利息の計算をする問題です。A-2まではただ漸化式を立てていくだけなので,理系はもちろん文系の方もここで点を取っておきたい問題です。A-3以降で少し差はつきそうです。

(A-1)
#に当てはめて,その漸化式を計算していきます。
todai_2015_sogo2_a1_2.png
返済額はbN=0から出して,返済合計はNxになるので,
todai_2015_sogo2_a1_3.png

(A-2)
これも#に当てはめて解いていきます。yが利息全額とAのN分割であることに注意すると,
todai_2015_sogo2_a1_4.png

(A-3)
差をとれって言われているのでとります(最後はN≧2なので展開した初めの2項より大きいことを利用しています)。
todai_2015_sogo2_a1_5.png
したがって,x<y1です。まあ当たり前っちゃ当たり前です。だって,元金均等は最初の利息高く,元利均等は後半の利息が安くなってくるところも含めて均していますから。

(A-4)
先に元金減らしたほうが利息が減るので,返済額=支払利息+元金であることから,X>Yであることがわかります。
真面目に行くなら,支払を図にすると,
todai_2015_sogo2_a1_1.png

となり,左図の点線はその左上の領域が右図の利息になるように引いております(”縦=初回の利息”が同じAr,かつ,”横=支払回数”がともにN)。つまり,元利均等の支払のうちで利息引き当て部分が上に凸な関数ならば支払利息の合計が多くなります(図上では下に凸に見えますが,利息単体で描けば上に凸です)。n+1回目の支払で払う利息のnによる部分(Rとします)だけ考えます(微分してもいいです)。
todai_2015_sogo2_a1_6.png

これは指数関数を裏返したものになるので,支払利息部分が上に凸な単調減少関数であることがわかり,上図左よりX>Yを示せました。

東京大学2015年総合科目IIに戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/557-69ff3a9d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。