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東京大学2015年後期総合科目II第1問B
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解説

手法が数学的にはなりましたが,難易度は第1問Aに毛が生えた程度です。理系なら取りたい問題です(正直文系の点数配分とか知りませんが)。そして出ると思ってましたがやはり期待値出してきましたね。流石に行列は出さなかったみたいですけど。

(B-1)
まず速攻,偶奇性からP1,2=0と気付いてほしいです。だってチケットの消失は2枚単位なので偶数枚にはなりえません。

あとはどちらか好きな方を求めます。P1,3は全員パスか全員キープなので,1/2×1/2=1/4です(一人目は何だそうが関係ないです)。
よって,P1,1=1-P1,3=3/4

【別解答】P1,1を直接
チケットを捨てない人の前の人は同じ行動,後の人は違う行動(つまりを捨てない人を左端に書き,○をキープとすると○×○か×○×)になります。よって,一人当たり1/4通りなので,3人いるから3/4です。

(B-2)
問題文で言っているケースは全事象に含まれます。Cがキープし続けた場合にはN-1回目の行動のあとは,Cの次にいた人のチケットが届くことになるので,定常状態になります。Cがキープで他がパスとなる1回当たりの確率≧1/2MがN-1回繰り返されるので(失ったチケットの分も1/2で行動を考えていますので,1回当たりの確率が=ではなく≧です),
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(B-3)
チケットが復活することはないので,Pk,1はkに関する単調増加関数です。B-2でN-1のものは出ているので,k=r(N-1)を考えて漸化式を作ると(M≠1とします。M=1なら確率は常に1です),
todai_2015_sogo2_a2_2.png

確率が1以下なのは自明なのではさみうつと1となることがわかります。

(B-4)
計算していくだけです。
todai_2015_sogo2_a2_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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