ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2015年後期総合科目II第2問A
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解説


この問題以降は,解けるならなんで前期落ちたんだよっていいたくなるレベルです。まずはどのような時に光が当たるのかについて考察できなければならず,この時点で詰みます。救いなのが答えのみでいいことで,なんとなく想像して答えて正解になった人はいたのではないでしょうか。私は3次元は無理なので式で考えました。あと解いていた時にa≧b≧cを見逃していて”作問者死ねよ”って思ってしまってすみませんでした(まあ一個求めてあとは文字についての対称性でいけますが)。
解答に関してはA-4は不等式表示で流石にいいんですよね?一応,交点的なのを出しておきましたが,計算ミスっている自信がある感じです。

(A-1)
平行な光が当たるか否かは面の地平線より上か下かです。ここで,正8面体の対面が平行であることに注意すると,対面の一方に光が当たるか,ともに光に平行で当たらないかです。平行な光の場合は面を移動しても光の当たり方が変わらないので(もし問題が点光源の場合,地平線より上ならば当たりますが,面の平行移動はNGです),平行じゃない3面(面PQRが常に当たることは自明なので除いています)の方程式を立てて原点に移せば,
todai_2015_sogo2_a3_1.png
これらを同時に満たす場合にはx=y=z=0となるので,光の向きの条件を満たせません。したがって,少なくとも2面は照らされます。よって,対面の一方は照らされることから2,3,4が答えになります。

【別解答】
A-4がなければ,Q+からP+R+に引いた垂線の足をHとすると,Q+H=QH<Q+Q+なので,△H<Q+Q+の角より,隣り合う2面は鈍角になるためk≧2で解く感じでしょうか。

(A-2)
回転してみると,辺から頂点が出てくるか,頂点から辺が出てくるかです。

k=2
これは自明に三角形2つが辺を共有しているだけなので四角形です。

k=3
この時は一組の平行面が映らないので,次のような図形になります(この時PQとRは必ず重なります。なぜならPQRに平行な光を当てているので)
todai_2015_sogo2_a3_8.png
したがって四角形です。

k=4のとき
4個目の面の出方としてk=3の図から△PQRが見えてくるパターンか,PQRが見えてくるパターンの2通りがあります。前者は頂点が増えないので四角形,後者はR±が新たな頂点となり,2個増えて六角形となります。

したがって,(k,n)=(2,4),(3,4),(4,4),(4,6)です。

(A-3)
(A-1)で立てた式を活用していきます。別に下図のような立方体の切り口で考えてもいいのですが(右奥を除くと4つの領域に分けられ,切っている面の上下で正8面体の平行面のいずれが照らされるのかが変わってきます。また,立方体ではなく切っている各面の交線上ではk=2,それを除く各面上ではk=4,それ以外はk=6です。),ややこしい作図は嫌なので,z=p平面での断面を考えます。
todai_2015_sogo2_a3_9.png


todai_2015_sogo2_a3_2.png
となるので,境界でどちらが照らされるのかに注意して作図すると(極端な例,例えばyすなわちb=1とかで考えるとわかりやすいです。この場合絶対にQの符号は+です),添え字は上がその直線より上の場合になるようにしています。またa≧b≧cつまりx≧y≧zより,y=xの下側かつx,y≧pです。

todai_2015_sogo2_a3_10.png

なお,p=0のときは傾きが1の2直線は一緒になってしまいます。

(2,4)のとき上図でいう交点になりますので,存在しませんが,z=0のときに2直線が一致することから,
△PQR,△PQR
が答えです。

(3,4)のとき上図でいう辺ですから,
△PQR,△PQR,△PQR

(4,4)は区切られた4つの領域のうちどれかをまず考えます。
たとえば,x軸よりのものは(図でいうx正側)はx軸から見るものと同じなので4角形です。リストアップすると(Pが+です),
△PQR,△PQR,△PQR,△PQR

(4,6)は中央なので,問題の図1の通り,
△PQR,△PQR,△PQR,△PQR
となります。

(A-4)
図を基にして解くだけです。
(2,4)のときはz=0のときの一致した2直線なので,x=y,z=0と球の交点です。したがって,a=b=1/√2,c=0となります。

(3,4)のとき上図でいう,y=x-zと球の交点なので,z=kの断面上で球は円で表されますが,これが考えているx≧y≧zで交点を持つためには,y=x-pとy=pの交点,すなわち(2p,p)を内側に含まないとだめです。したがって,
todai_2015_sogo2_a3_3.png

交点を一応求めると(求める必要あるか謎),
todai_2015_sogo2_a3_4.png

なお,根号の±で+のみを採用していることは,図より大きい方だとわかるからです。

(4,4)はy=x-pの下なので,b<a-cかつb≧cです。これも不等式表示でいい気もしますが,弧の上端はさっき求めたので,下端を出すと,b=cなので,
todai_2015_sogo2_a3_5.png

したがって,
todai_2015_sogo2_a3_6.png

(4,6)は中央,つまりy=x-pの上なので,b>a-cかつa≧b≧cです。(p,p)を中に含む場合,つまり,0<p≦1/√3すなわち0<c≦1/√3です。
不等式ではなく行くと,(2p,p)を含むか否かで場合分けが生じます。上端はいずれもx=yの交点になるので,
todai_2015_sogo2_a3_7.png



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