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東京大学2015年後期総合科目II第2問B
todai_2015_sogo2_q4_1.png
todai_2015_sogo2_q4_2.png
todai_2015_sogo2_q4_3.png

解説


ちょっと待ってくれ東大さん。これって専門課程に入ってからの定期試験でもやりすぎ感あるんではないでしょうか。そんなところが素敵ですけど。

(B-1)
試行錯誤による推論も大事です。自分の場合は2,3次列だけ考えて,(n,n-1,・・・,1)かなとか思ったのですが,最終的には逆に最強のbを考えて答えに至りました。これはいかなるbでも満たせないことから着想しています。
b=(n,n-1,・・・,1)とするといかなるaでも,todai_2015_sogo2_a4_1.pngとなってしまいますが,a=(n,n-1,・・・,1)のときがバーに相当するので,この時のみtodai_2015_sogo2_a4_2.pngとなります。

一方,一番しょぼいaを考えれば(1,・・・,n-1,n)であり,これも同様に等号が成立しない限りどんなbでもtodai_2015_sogo2_a4_1.pngとなるため,等号成立のb=(1,・・・,n-1,n)のみです。

(B-2)
また新しい記号ですかいい加減にしてください。

(ア)
todai_2015_sogo2_a4_1.pngなので,○をそれぞれanやbnより大きい,×が小さい,△は不明だとします。もしaの方が
○○××・・・○×an
だとすると,の場合は,bが
○○△△・・・○△bn
のようになります。○の数をpとすると,anは大きい順からp+1位の数になります。一方,bnは△部分が不明なので,大きい順からp+1以降の順位(qとします)になっています。
さて,ここからanとbnを抜いた列たちですが,大きい方からp位までは変わらず,q+1位(q=nなら考える必要がなくなります)以降も変わりません。
この間の順位はbの方がaの順位より1つ小さくなります。
todai_2015_sogo2_a4_3.pngより,すべてのn≧mなる自然数mでam≦bmです。また,bの順位が1つ小さいということは

の場合にtodai_2015_sogo2_a4_4.png比較されるb側はより大きなものになっているため,成立します。

(イ)
この△とバーを組み合わせた記号は2項間の関係にしか着目していないので,同じ項番号だけ集めたaおよびbの部分列でも関係性が引き継がれます。つまり,rをk以下の自然数として,todai_2015_sogo2_a4_5.pngです。
また,標準n次列は同じ1からnまでの数から作られているので,todai_2015_sogo2_a4_3.pngが成立しています。アの結果をk回繰り返すと,todai_2015_sogo2_a4_11.pngが得られます。

(B-3)
同じ向きの不等号(的なのですが)は多分利用できると考えていきましょう。k=n-mとして得られるm次列を単調増加関数p(α)に入れています。和は並び替えても変わらず,大きい順に並び替えたものをa’,b’とすると,todai_2015_sogo2_a4_6.pngがすべてのiでいえるため,和もp(a)≦p(b)となります。

【参考】(B-4) T(a)≧T(b)を示せ
(B-3)の不等式を1から引けば,全確率の和は1なので,同値な不等式として,
todai_2015_sogo2_a4_7.png
todai_2015_sogo2_a4_8.png
が得られます(この右辺をBm+1とします。またm=0でもともに1で成立しています)。これを用いてm=0からTの形を作ってやります。まず手始めにT(b)のB1でないと表せないp(b1)の項を処理すると,
todai_2015_sogo2_a4_9.png
ここで,t1<tiであり,また,h>iならば0<ti-t1<th-t1であるので,ti’=ti-t1と定義し直しても本問と条件の変化はありません。
以後,順にp(b2),p(b3)と消していけば(上添え字は指数ではなく置き換えた回数です),
todai_2015_sogo2_a4_10.png
となります。T(a)に関してもまったく同じ係数の列が得られるので,Ai≧BiよりT(a)≧T(b)が示せました。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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