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京都大学2015年前期数学第2問
kyodai_2015_math_q2.png

解説

これ系って解く前からきれいな形である正方形とわかってしまう気がします。条件の整理法と円上の点の置き方が鍵でしょうか。

まずは条件をいっぺんに考えられるものか,場合分けすべきなのかを考えていきます。(a)の方ですが,図を描いて考える場合に,2つの角を90°にするのですが,隣り合う角なのか対角なのか言われないと図が描けないと思います。こういう場合は場合分けします。

(i)隣り合う角が90°の場合
この場合にはここまで決まります(点線が決まっていない部分です)。

kyodai_2015_math_a2_1.png

台形なので上底と下底の平均×高さですが,高さは一定(2)であり,上底と下底の平均は点線とx軸の交点です。したがって,最小になるのは,点線がy=0で円に接する場合であり,面積=4です。

(ii)対角が90°の場合
対称性を考えて次のように90°かは不明な角をx軸上に来るようにおいてやります。

kyodai_2015_math_a2_2.png

D(cosθ,sinθ)とでもすれば,E(-sinθ,cosθ)となり,AとCが求まります。
kyodai_2015_math_a2_3.png
となり,2θ=1,つまりθ=45°のときに4となります。

(i)(ii)より実は同じ図形ですけど,4となります。

【(2)(ii)別解答】
本解答のようにDをθでおいてやると大分楽ですが,そんなイケメンな置き方できない場合はOAの長さをtとかおいてやります。すると,
kyodai_2015_math_a2_4.png
なおこの時,t=√2で正方形です。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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