ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2015年前期数学第3問
kyodai_2015_math_q3.png

解説


典型問題です。こういう聞かれ方したらどうどけばいいのか整理できていればあとはただの計算問題です。

(1)
直線を適当な文字を使って表し,その解が一つであることを示します。傾きをmとすると,y=m(x-a)であり,接するという条件を式にして解いてやると(上が交点のyについて,下がy’つまり傾きについてです),
kyodai_2015_math_a3_1.png
これがただ一つの解を持てばそれで終わりです。二次関数ならD=0とかがありますが,これ系のわかりにくい関数ならば,まず考えるべきことは単調関数か否かです。m→0で左辺→-1,m→+∞で左辺→+∞なので,単調増加を示したいです。左辺の微分をとりますが,少しめんどくさそうなので,非ゼロで割っても解の個数は変わらないので,m>0で割って微分すると,
kyodai_2015_math_a3_2.png
となり単調増加です。

【(1)参考1】
もし,mで割ることに気付けなくても解けます。単に微分すると,
kyodai_2015_math_a3_3.png
残念なことに単調増加とは言えなかったのですが,もう一度微分すると1/m(真数条件よりm>0)であるので下に凸な関数だとわかります。m=eaまでは減少し,それ以降は単調増加なので,本解答のlimの結果よりただ一つの解をもちます。


【(1)参考2】
傾きではなくて接点をおいて解いてもいいです。上の連立ではmについての式に落としましたが,xについての式に落とすということです。
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x→-∞で左辺は-1,+∞で+∞です。微分してやると,
kyodai_2015_math_a3_5.png
となり,参考1と同様に下に凸でその後単調増加です(これもeaで割った方が早かったりします。)。

(2)
(1)参考2の連立方程式途中から行きましょう。問われている形を作ることを意識します。
kyodai_2015_math_a3_6.png
よって,n→∞でan→∞であり,その時1/ean+1→0なので,1が答えになります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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