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京都大学2015年前期数学第4問
kyodai_2015_math_q4.png

解説


cosを求めろって言われているので余弦定理かベクトルの内積で行くのが普通でしょう。基本的に問われている事項を含む公式を思い出して解く感じになるのかと思います。

簡単に図にするとこんな感じです。

kyodai_2015_math_a4_1.png

AQ=tとして余弦定理を使っていきます。最終的に三角形PDQでやるのでPD,QD,QPの二乗を求めます。
kyodai_2015_math_a4_2.png
三角形PDQの余弦定理から
kyodai_2015_math_a4_3.png
これが最大になるtを求めてやりますが,分子も正なので2乗をとった方が計算が楽です。ついでに2√3もかけて2乗しとくと楽です。
kyodai_2015_math_a4_4.png
分数部分を微分して最大を求めます。
kyodai_2015_math_a4_5.png
分母が常に正であることから分子によって符号が決まるのでt=1/5で極大であり,定義域が0≦t≦1であることからも最大になるとわかります。したがって,cos⁡∠PDQ=(√7)/3

【参考】相加相乗を使った計算
微分したくない気分の日は次のように計算します。
kyodai_2015_math_a4_6.png
となり,相加相乗より分母が最小となるのはu=7/5のときで,この時t=1/5です。

【別解答1】
tan∠PDQが最小となる時を考えます。ABDをPが原点,ABがy軸になるようにxy平面に配置して考えます。QからDPへの垂線の足をHとすると,QがAからCの範囲を動くとき,HはPから三角形ABDの重心まで動くことになります。なので,AQ=tとして求めていきます。A,Cの座標とACの方程式及びAQ=tのときのQH,DHは,
kyodai_2015_math_a4_7.png
tan2の最小値を求めます。
kyodai_2015_math_a4_8.png
これは分数部分を微分すると分子=本解答の分子×(-1)になりt=1/5で最小です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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