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京都大学2015年前期数学第5問
kyodai_2015_math_q5.png

解説


余る余らないって言われた時点で立てる式は一つです。あとは,あまり部分が0になることを示します(ここが難しめですけど)。
kyodai_2015_math_a5_1.png

ここでBは固定であることから,r≠0ならばr/g(n)の小数部分をAnの小数部分が打ち消す必要があります。まず,g(n)がd>0より単調増加であるので,r/g(n)は絶対値が単調減少です(e>0なのでですが,十分大きなnに対してはどうでもいい話です)。ということはAnの小数部分もそれを補うように変化しなければなりません。

(i)Aが整数の場合
小数部分は常に0なのでr≠0なら打ち消すことは不可能です。

(ii)Aが非整数の有理数の場合
分母を周期として増減します。よって打ち消しは不可能です。

(iii)Aが無理数の場合
Aの小数部分(tとします)は0<t<1/2もしくは1/2<t<1に入っています。0<t<1/2の場合はあるnにおいてAnの小数部分(sとします)が1/2<s<1を満たすようなnをとることができます(どんなに小さな数も十分大きなnを持ってくれば1/2を超えます)。
一方,1/2<t<1の場合は1>2-2t>1-t (∵1-2t<0⇔2-2t<1)であり小数部分は2Aの小数部分はAの小数部分より小さくなります。減少幅は小数部分が1から離れるほど大きくなるので,2A,4A・・・ととっていけば0<t<1/2に入ります。
したがって,Anの小数部分は増減を繰り返すので,打ち消しは不可能です。

(i)~(iii)よりr≠0という仮定が誤っていることがわかるので,r=0です。

【別解答】
nの時とn+1の時の差分を考えます。
kyodai_2015_math_a5_2.png
これはすべてのnにおいて整数です(整数の差は整数)。r≠0の場合,n→∞をとれば第2項が0にいくらでも近づくためAが整数でなければ小数部分より絶対値が小さくなってしまい整数にはなりません。またAが整数なら非ゼロの微小数を引くので整数になりません(この辺の考察すら面倒ならば,更に差をとってやるとAも消えるので,nを大きくして即終わりです)。
したがって,r=0です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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