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京都大学2015年前期数学第6問
kyodai_2015_math_q6.png

解説


n回目にある範囲になる確率を求める際には,その範囲に来るためのn-1回目にどの範囲に来ている必要があるかを考察する必要があります。また,別解答2のように書き出してしまって,規則を推測する手法も本問では取れます。

Pnを求めるために漸化式を作ってやりますが,xn<2/3になるためのxn-1の範囲を出す必要があります。また,その範囲になるための範囲も出してやる必要があります。
kyodai_2015_math_a6_1.png
この範囲に対応させるためには,0<x<1/3,1/3≦x<2/3,2/3≦x<1の3つに分けてやればいいことがわかります。それぞれの区間にいる確率をa,b,cとして漸化式を立てていきます(各式の前半がf0によるもので,後半がf1によるものです)。
kyodai_2015_math_a6_2.png
求めたいものはa+bです。cを上の式から消してやります(a+b+c=1を忘れずに)。
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【別解答1】
bが実は求めやすいです。本解答の連立漸化式より,
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aとcはn=0でともに0であり,漸化式の形が同じなので常にa=cです。したがって,a+b+c=1⇒a=(1-b)/2です。
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【別解答2】
試行錯誤で形を推測できます。n=3まで調べたものを以下に貼り付けておきます。上がf0で下がf1です。

kyodai_2015_math_a6_6.png

これをみると分母は2n+1であり,分子は2n+1以下の奇数すべてだと推測できます。
示すべきことを考えてみると,分母はほぼ自明として,xn<1であり,すべての分子が奇数,相異なってその種類が2nであることを示せばよいです。
(i)n=0
成立しています。

(ii)n=kで成立すると仮定した場合
xk<1ならf0およびf1のいずれに入れてもxk+1<1です。

分子が奇数なのは
kyodai_2015_math_a6_7.png
となるので,mつまりxkの分子が奇数なら奇数です。

次に,相異なる事は0<x<1においてf0とf1の値域に重なりはなく,また,それぞれ単調増加なので,xk+1が同じ値になるためには,xkも同じかつ入れる関数も同じでなければなりません。したがって,入れる関数が2種類あるので,できる分数はすべて異なり,種類はxkの時の2倍になります。

(i)(ii)より,
kyodai_2015_math_a6_8.png
となります。あとは2/3より小さいものがどれだけあるか考えていきます。
kyodai_2015_math_a6_9.png
2の累乗を3で割った余りは2,1を繰り返すので,あり得るmの個数をmに添え字をつけて表してやると(2n+1/3の整数部分を別の文字で置いて考えるとわかりやすいかもしれません),
kyodai_2015_math_a6_10.png


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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