ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2012年前期数学第4問
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解説


要望があったので単発で(2012年まとめてもいつの日かやると思います)。本問題は3乗根ではなく2乗根ならば,京大受験生はみんな解けてほしい問題でしょう。でもこういう場合,似た事項には似た解法が適用でき,そのための変換を考えられるか否かで差がついてしまいます。

(1)
√2の時と同じ手法で解けてしまいます。直接が難しければ背理法で,互いに素なp,qによってp/qと表したら矛盾する方針です。
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左辺は偶数なので,右辺も偶数です。したがって,pは2の倍数です。とりあえずp=2kとでもおいてやると,
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となり,今度は右辺が偶数となり,左辺のqが偶数となります。これはp,qがともに偶数となってしまい,互いに素なp,qと矛盾します。したがって,互いに素なp,qによってp/qと表せるという仮定が間違っている,つまり,2の3乗根は無理数だと証明できました。

(2)
多分こちらが本命でしょう。試しに√2を入れたときにx2-2で割れることを示すのならば,
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の余り部分が0であることを示すことになります。√2を入れるとx2-2は0になるので,a√2+bは0でなくてはなりません。ここで,使っていない条件である有理数係数を思い出してみると,数式の割り算の操作上,aもbも有理数になるので,√2が無理数であることからa=0,b=0が得られます。

さて,本題に同じ考えを適用してみると,
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となります。第1項が邪魔です(2次の時と同じように持っていくためには無理数は1つでなくてはなりません。無理数+無理数は有理数になることもあります)。邪魔な項を消すためには連立させる式を作らなければなりません(関連のあるものでもx,yのような全く別の文字として捉え,連立して消すことは結構あります。sinθとcosθを関係ない変数のごとく消してしまうとかありがちです)。3回かけると2になることを利用したいので,21/3をかけてみると,
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後ろの括弧内は正なので,前の括弧が0になります。21/3は無理数なのでa=b=0であり,連立方程式に代入してやれば,c=0となって余りが0であることがわかります。

【別解答】
連立して消していくことが思い浮かばなければ次のように考えてもいいです。ax2+bx+c=0をa(≠0)で割ったものをx2+2px+q=0とすると,この方程式は21/3を解にもちます(a=0のときは直ちにb=c=0なので省略)。したがって,±をどちらか一方だとすると
kyodai_2012_math_a4_6.png
のようになります。一番面倒なのは3乗根なので,3乗すると(表記上根号内をDとします。p,q,Dは有理数であり,√Dが有理数なら21/3も有理数になってしまうので,√Dは無理数です。)
kyodai_2012_math_a4_7.png
21/3は実数かつ無理数なのでD>0であり不適となります。したがって,a=0の時しか考えられず,b=c=0でもあるため余りは0で割り切れます。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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