ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2009年前期数学第6問
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解説

要望があったので単発で(2009年まとめてもいつの日かやると思います)。”√2が無理数であることは証明なしに用いてよい”→有理数部分と√2部分で係数比較,”すべてのn”→数学的帰納法(文字で置いているので漸化式パターン),二項定理の形,というあたりから大筋の解き方は丸見えです(見えていなければ演習不足)。あとはそれらをどう示すのかですが,この問題はそれが難しいように思えます。

(1)
とりあえず求めてみましょう。
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a2が奇数であることは,aが奇数であるためa2が奇数で2b2が偶数なので明らか,互いに素であることは,b2の約数は2,aの約数,bの約数の積になり,a2が2で割れないことからaの約数,bの約数の積となります。よって,約数d=da・dbとして割ってやると(途中で出てくるkは整数であることのアピールで,d’系統はd系統と対になる約数です),
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左辺はaでもbでも割れます。試しにaで割ってやると,
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となります。da≠1ならd’bは割れないので,分子の括弧内が割れることになりますが,括弧内第1項は割れるが第2項はa,bが互いに素なので割れません。同様にbの方も考えれば,da=db=1でd=1となり互いに素です。

(2)
奇数なのはn=kで仮定してk+1につなげます(これも後に述べる返し縫帰納法で行けますけどなんとなく普通に)。
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(1)と同じく第1項が奇数×奇数,第2項が偶数だからです(一応,bnがすべてのnで整数であることを示しとく方が無難ですが,漸化式的に自明と私は見なしています)。

次に,互いに素であることを示しますが,単純な積の形を見いだせないため,普通の帰納法では埒が明かない感じです(別解答参照)。そのため返し縫帰納法(勝手に命名しています)で示します(発想は(1)と同じ形にできることからです)。この帰納法は普通の帰納法で式変形が難しいときに考える手法で,n=k+1で成立すると仮定した場合にn=kを示すことが楽,かつ,例えばn=kで成立すればn=2kで成立のように飛ばし飛ばしでは証明できる,という2つの条件がそろっている場合に使える帰納法です。

つまり,1,2,4,・・・・・を証明し,そこから前に戻る形ですべて示します。4→3,8→7→6→5といった具合です。この手法自体は相加相乗平均の数学的帰納法による証明で有名です(logとって普通の帰納法でもいけますけど)。
(人によっては返し縫的な表現ではなく,kで成り立たなければk+1でも成り立たない→k+1つまりここでは1,2,4,8などで成り立つことと矛盾って書くかもしれませんね)

さて,本問題の場合,1,2,4,・・・・を示すのは(1)とほぼ同じです。ここでは(1)と別の方法で示しておきます。
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となり,この左辺はa2kとb2k最大公約数dで割れます。したがって,akとdはd≠1としたら公約数d’≠1を持ちます。ak=pd’として代入してやれば,
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ここで,d’はdの約数なので,a2kの約数でもあるはずで,また,akとbkは互いに素なのでbkはd’で割れません。つまり,上段の左辺は割れるのに右辺は割れなくなってしまい矛盾します。

したがって,n=kで成立していれば,n=2kでも成立します。

さて,返しパートに入ります。n=k+1で成立する場合を仮定します。もしakとbkに公約数d≠1が存在すると仮定すると(背理法です),k+1とkの関係式はak=Ad,bk=Bdなので
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となってしまい,()内は非ゼロであることからak+1とbk+1もdを公約数d≠1を持つため矛盾します。
したがって,akとbkは互いに素になります。

以上から,すべての自然数nにおいて成立しています。

【別解答】普通の帰納法
少しつらいですが,普通のでも一応いけます。
文字が多く,また積ではなく和の形なので文字を減らしてやります。このとき,AとBの共通な因数はpA+qB(p,qは整数)も割れることに着目して整理すれば,次のようにa,b,ak,bkを消した式が得られます。最大公約数をdとすればすべてdで割れます。
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aとb,akとbkの互いに素だという関係から,残りの部分がdで割れます(1,2の比較より第1段,2,3の比較より第2段,もともとの式より第3,4段です)。
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これだけではどうにもならないので,もう一つ前との関係を考え,式(6)で変換します(k→k+1がだめならk-1,k→k+1,それもだめなら1,・・・,k→k+1を考えてみるのは定石です。まあ,k-1の仮定は結局不要ですが。ちなみに本問を行列による変換と捉えておけばケーリーハミルトンで関係式をねつ造できるので,自然とk-1の時を考慮できます)。
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a系統がbで割れないことは数学的帰納法ですぐ示せるので(第2項が割れて第1項が割れないです),bkはdで割れます。(5)に入れれば,akもdで割れてしまうため,d≠1だと互いに素というものに矛盾します。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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