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慶應大学医学部2015年数学第1問
keio_med_2015_math_q1.png

解説

基本問題であり,計算ミス以外でこれが解けなければ論外です。難易度は(2)>(3)>(1)の順です。

(1)
logの問題ではまず真数条件です。
keio_med_2015_math_a1_1.png

底が異なるのでそろえて整理します。
keio_med_2015_math_a1_2.png

(2)
絶対値で表されているものが何なのか理解できていると楽です。f(x)の方は全体が絶対値なので関数の負の部分をx軸で折り返しです。一方,g(x)の方はxの奇数次のみ絶対値なのでxが正の部分を折り返して偶関数化しているものです。
まずはf(x)の折り返しの有無で場合分けします。

(i)すべてのxでf(x)≧0の場合
つまり,
keio_med_2015_math_a1_3.png

の場合。基本となる関数ではf(x)もg(x)も同じなので,絶対値なしの関数の軸が正になっていれば,その頂点はg(x)にも含まれます。したがって,軸=-3b/2≧0です。以上から,-1/9≦b≦0。

(ii)f(x)<0なるxが存在する場合
この場合はf(x)の最小値は0なので,g(x)の最小値も0ならばOKです。偶関数なので0≦xのみで考えればいいので,
keio_med_2015_math_a1_4.png

極値か境界の値でしか最小値にならないので,g(0)=-b/4=0⇔b=0ですし,極値=0ならb=0もしくはb=-1/9となります(iと重なっているので必要十分性は不要ですし,境界の値は場合分けより除かれています)。

(i)(ii)より,-1/9≦b≦0が答えです。

(3)
積の形なのでとりあえず和積かなってところです。
keio_med_2015_math_a1_5.png

したがって,sin(2x-α)の部分が最大になればOKなので,範囲を考慮すれば,(う)は
keio_med_2015_math_a1_6.png

(え)は代入するだけです。
keio_med_2015_math_a1_7.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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