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慶應大学医学部2015年数学第3問
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解説

一つの曲線に関する設問群ですが,()単位で独立です。(1)(2)が簡単めで,(2)が数学できる人も事故る可能性のある試行錯誤問題で嫌な問題です。

(1)
あ:
変曲点は傾きの増減が入れ替わる点です。つまり,f’’(x)の符号が変わる点(f’(x)が極値になる点です。)。したがって,とりあえずf(x)を微分していく必要がありますが,与えられているものが陰関数(y=f(x)ではなくF(x,y)=0みたいな関数)なので,yがxの関数であることに注意して微分していきます(本問ではy=の形に直してしまっても計算は楽です)。また,計算の都合上,s=1/p,t=1/qとしても差し支えない。
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{}以外の符号は固定であり,{}の符号が変わればよいことになります。xs/ytはyがxについて単調減少であることから単調増加で→∞となるので,t(s-1)とs(t-1)が非ゼロかつ異符号ならばOKです({}内にytをかけてx=0および1の場合の積が負と考えてもいいです)。したがって,
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【参考】変曲点の条件
変曲点では接線が曲線と交差すると捉えることもできます。まず接線は接点を(u,f(u))とすると,
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元の曲線のyと差をとります。途中で出てくるcはxとuに挟まれる実数(テイラー定理を使っています。平均値の定理でも代用することはできます)。
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したがって,x=uの近傍でこの符号がかわることは,f''(c)の符号が変わることと同値となります。

(2)
い:ただ計算していきます。
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【い別解答】
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う:
見るからに部分積分ですが,普通にそのまま部分積分してもいまいちな感じです(pが分数になっているため,うまいこと次数が対応しません)。試しに置換してみると(発想としては1/pではなく,pが次数となるようにするとp-1を作りやすいといったところでしょうか),
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下から三行目の変数変換は,無理やり1/(p-1)の形を作るために行っています。

え:
前の漸化式は,S(p,q)のp+qが一定の時に使える式になっているので,p+q=1+(p+q-1)と捉えれば,”い”の結果を使えるということになります。S(1,p+q-1)まで戻してやれば,
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(3)
お:
3乗根を3乗すると1乗になることに気付きたいです。あとは,式変形するだけです。
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ここまでくれば形が明らかに解と係数の関係です。
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この方程式が0≦t≦1で2解を持てばいいので,軸=1/2より,D>0かつt=0および1で左辺が0以上なら良いです。
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か:
”お”の方程式の解なので,
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き:
”お”の方程式の解なので,
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く:
直線lの直線の長さはx方向の√2倍なので,
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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