ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
京都大学理学部2016年特色入試数学第1問
IMG_6292.jpg

解説


三角形の面積を一個一個求めて和をとることは難しい問題です。このような場合には組み合わせてきれいになるペアを見つけるか,数え上げ方を三角形の成分ごとにしてやるかです。
本問では後者で行きますが,具体的なイメージをして頂くために,そのパターンで有名な問題を軽く触れておきます。

【参考】成分ごとの数え上げ==============================
「1から9の整数で作られる4ケタの整数の和を求めよ」という問題があった場合には,4ケタの数を足すのではなく,例えば2が各桁に何回出るかで考えるほうが楽です。ある位が2の場合には他の位の選び方は93通りです。したがって2はその位に93回出てきます。したがって,全桁を考えれば2×1111×93が2が和に占める部分となります。
==========================================

本問でも上記のように考えれば和をとることが可能となります。具体的には辺ごとに足してやることになりますが,そのように考えられる理由は次の通りです。
下図において,ABに注目して△ABCの面積を求めようとすれば,△AOB+△BOC+△COAになることがわかります。また,△ABDの場合には,-△AOB+△BOD+△DOAとなります。このように符号は変わるものの,各辺とOがなす三角形に分解してやることができます。どのような場合にプラスやマイナスになるかというと,ABに対してもう一頂点がCのようにO側にある場合にはプラス,Dのように反対側にある場合にはマイナスになります。
kyodai_2016_t_math_a1_1.png

さて,あとは上の参考で述べたように辺ごとに和をとれば求まります。ABがn分割された弧長のk個分の弦であるとき(kはn/2以下とします),O側にはn-k-1個の点があり,反対側にはk-1個の点があります。ここで符号を考えれば,前者はプラス,後者はマイナスなので,n-2k回だけ△AOBを足すことになります。△AOBの面積は1/2×sin2πk/nになるので,その積が△AOBが占める和の部分になります。

次は長さがkである弦が三角形として何回出てくるかですが,ABを一周回転させるのにn,ABC間の点の順列で6になり,合計6n回出現してきます(nが偶数の場合は円の直径も出てきて対称性が他とは異なるものになるので,2で割る必要がありますが,円の直径の場合には△AOBの面積は0なのでどうでもいいです。)。以上から求める面積はkについてΣをとってnの3乗で割ると(どの三角形も同じ確率です),
kyodai_2016_t_math_a1_2.png

limをとってやりますが,k/nが丸見えなので積分で求めます。
kyodai_2016_t_math_a1_3.png

最後の括弧はこっちでもいいですねってやつです。

スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/590-50307a24
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。