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慶應大学医学部2015年数学第4問
keio_med_2015_math_q4_1.png
keio_med_2015_math_q4_2.png

解説


一見すると長さと内積をn次元に拡張した問題に見えますが,やっている内容はそんな拡張定義は関係なしのただの証明問題です。(5)を求めるのに工夫がいるので,それが本年で最難だと思われます。

(1)
とりあえず定義が与えられている内積と距離に入れてみます(とりあえず0とか1とかをいれてみることは定石でしょう)。
keio_med_2015_math_a4_1.png

次はs,tの場合に入れてやります。
keio_med_2015_math_a4_2.png

(2)
(1)の結果を順に使ってやります。
keio_med_2015_math_a4_3.png

(3)
(2)の計算の仮定で証明の骨格はつかめているはずです。A(1),A(2)・・・・と順番に内積をとっていけば一つずつ要素が決まっていきます。これだけで終わってもいい気もしますが,解答用には数学的帰納法でも使っておけばいいでしょう。示すべきはs-1まではすべて同じになることです。k項まで同じことを示します。

(i)k=1の時
keio_med_2015_math_a4_4.png

(ii)k≦iの時成立と仮定(i≦s-2)
A(s)とA(t)の初めのi項は同じとなります。この時,
keio_med_2015_math_a4_5.png

(i)(ii)より,s-1までのすべての項が等しくなります。

(4)
代入するだけの簡単なお仕事です。一つだけsと同じものがあることに注意します。
keio_med_2015_math_a4_6.png

(5)
(4)を使って漸化式を作っていきます。文字によらず一定(ここではs)で,和とかベクトルなどの複数の要素からなっているもの(そして一部の要素以外は同じとか似ているもの)は異なるその文字のものを等号でつないでやるとさっぱりすることがあります。BとAに関して以下の2式が得られます。()書きの方の式を選択しても行けます。
keio_med_2015_math_a4_7.png

{が取れている所の式変換は下の式を”x=”の形にして上に代入しています。
こうして出てきた漸化式は2乗を無視して(2乗ごと数列だと思って)やることは当たり前ですが,普通に解きにくい形です。ぱっと見で逆数になる式を思い出せれば,そうなるように変形していくことができます。逆数にする前の分子がきれいにならないことから,逆数にした後の分母がきれいにならない前提で理想の変形を考えます。逆数をとるときに0とならないαを足して,
keio_med_2015_math_a4_8.png

同じ形になって欲しいので,
keio_med_2015_math_a4_9.png

この時,もし初めの分子が0であったなら,
keio_med_2015_math_a4_10.png
となって矛盾します。あとはこの漸化式を解くだけです。
keio_med_2015_math_a4_11.png

【(5)別解答】推測
漸化式を解くことができない場合は推測でやるしかないです。A(4)あたりまで求めて推測してやれば,ys/xs=s+1となります。その上で数学的帰納法を適用すると,
keio_med_2015_math_a4_12.png
となり,成立します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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