ひたすら受験問題を解説していくブログ
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灘中学校2013年算数:第一日目第5問
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高校でやる指数の計算です。考え方さえわかってしまえば難しくはないが、検討漏れが出やすい問題な気がします。

解答

解法のポイント
  • かけた回数は和になる(2×2に2×2×2をかけると(2×2)×(2×2×2)だから2+3回2をかけたことになる。)
  • 偶数か奇数かに注目する
  • ある回数でとり得る最大の値を意識する


まず初めは2×2しかない。計算すると2を二回かけた4になる。4を2回かけると2を4回かけた16になる。4と16をかけようが、16と16をかけようが、ポイントにあるように2をかけた回数は和になるので、2をかけた回数は偶数になってしまう。つまりどこかで、2をかけた回数が偶数のものと奇数のもの(2のこと)をかけないと奇数である9や15は生み出せない。

次に考えるべきことは最大限大きい数を作ると何回の掛け算で考えている数より大きいものを作れるか。これがわかると考えなくて良い回数がわかる。最大限大きな数を作るためには,4,16,256と作った数字同士をかけ続けることになり、2をかけた回数で言うと、2,4,8,16・・・・と倍倍になってく。ここで2を9回かけた512はどう頑張っても4回目以降にしか出てこないことがわかる。なぜなら、512>256なので3回のかけ算では絶対にできない。

なので、4回の掛け算でできないか考えてみる。どこかで2を奇数回をかけたものである2を掛けるので、4回目にかけたとすると、3回目までに2を8回かけた数字になってい必要がある。上でした計算から3回目に256を作れるので、4回で512は作れることがわかる(①)。

次に32768すなわち2を15回かけたものだが、同様に考えると、4回以上かけ算しなければ出てこない。15も奇数なので、どこかで2を奇数回をかけたものである2をかける必要がある。
さて、2をどこでかけるかによって取り得る最大の数はどう変わるだろうか。4回のかけ算を考える。二回目に2をかけたもの、三回目に2をかけたもの、四回目に2をかけたもののそれぞれを2をかけた回数で表すと、12,10,9となり、後半に2をかけるほど減っていくことがわかる。12<15より4回では無理。

5回で作る場合も同様に考えれば、5回目に2をかけたものですら2を17回かけたものになるため、どこかで2をかけることも含めて無駄のあるかけ算を2回以上する必要がある。これだけである程度絞られるので探してやると、2をかけた回数で表せば(2,3,6,12,15)、(2,3,5,10,15)、(2,4,5,10,15)という操作で32768を作れる。よって5が答え(②)。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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