ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2016年算数第1日目第5問
nada_2016_math1_5q.png

解説

高校生と就活生なら瞬殺してほしい問題です。小学生向け問題で使うのは卑怯かもしれませんが,ベン図をつかってしまえば何のことない問題です。


2で割れるもの(一の位が偶数)も5で割れるもの(一の位が5か0)も7になることはありません。したがって,7になるものから3で割れるものを引いてやればいいです。
7になるものは,1から1000なので,十以上の位が0から99まで取り得るので,100個あります。3で割れるものですが,大体こういうものは繰り返しになるので書いてみます(関係あるのは一の位のみです)。
3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3・・・
(注:高校生的には3と10は互いに素なので10ごとに繰り返します)

したがって,3の倍数で一の位が7のものは1000÷3=333・・・1の333個の内で333÷10=33・・・1の33個あります。したがって,100-33=67個です。

【参考】不定方程式
高校生はこう解いてもいいです。というか灘受かる小学生ならこう解いてもいいです。
3x=10y-3⇔3(x+1)=10y ∴x=10k-1 , y=3k
1≦10y≦1000なので1≦k≦33となり,これがNGなものです。したがって,100-33=67


2,3,5,7は互いに素(同じ数字で割れない)なので,7で割り切れるものから2,3,5のいずれでも割れないものを求めます。7で割れるものは1000÷7=142・・・6なので,142個から2または3または5で割れるものを引いて求めます。このような問題では次のような図を描いてみるとわかりやすいでしょう。

nada_2016_math1_a5.png

7で割れるもの:外枠=142
(A)2で割れるもの:①+④+⑥+⑦=71 (142÷2=71)
(B)3で割れるもの:②+④+⑤+⑦=47 (142÷3=47・・・1)
(C)5で割れるもの:③+⑤+⑥+⑦=28 (142÷5=28・・・2)
(D)2でも3でも割れるもの:④+⑦=23 (142÷6=23・・・4)
(E)3でも5でも割れるもの:⑤+⑦=9 (142÷15=9・・・7)
(F)2でも5でも割れるもの:⑥+⑦=14 (142÷10=14・・・2)
(G)2でも3でも5でも割れるもの:⑦=4 (142÷30=4・・・22)

求めたいのは外枠-(①+②+③+④+⑤+⑥+⑦)なので,外枠はおいておいて,1回しか入っていないものから考えていきます。1,2,3に注目して,ABCを足すと,
①+②+③+(④+⑤+⑥)×2+⑦×3
重複しているもののみを含むDEFを引くと
①+②+③+④+⑤+⑥
足りない⑦つまりGを足すと①+②+③+④+⑤+⑥+⑦になります(この辺は高校生以上にはすでに公式がありますね)。
外枠-(A+B+C-D-E-F+G)=142-(71+47+28-23-9-14+4)=142-104=38個です。

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