ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2016年算数第1日目第10問
nada_2016_math1_10q.png

解説

小学生的な解き方が思いつかなかったので,半ば中学生的な感じで三平方使って解いています(少し解放するだけで難易度ダダ下がりですね)。別解答では使わないでいっていますが,比が同じことに気付くかなんて運ゲーな気がします(一応,ABとCFは関係なさそうなのに比として出されているので,離れていても相似は疑うべきとも思いますが・・・)。

下図のようにBEの延長線上にCからの垂線の足Hをとります(図形っぽくしていますが実質座標で解いてます)。
nada_2016_math1_a10.png

△BCHとBDFの相似比より,CH=5/3×FD,FH=2/3×BFとなります(*)。
AB2:FC2=AF2+BF2:CH2+FH2=9:4
⇔4(AF2+BF2)=25×FD2+4×BF2
⇔FD=2/5×AF (①)

△ABCからABDとAFEを引いてやれば四角形の面積になります。ABD=3/5×ABCです(BD:DC=3:2より)。△AFEと△CHEの相似比がAF:CH=1:2/5×5/3=3:2であることからFE=3/5×FH=2/5×BFとなります。よって,AFE=2/5×AFB=2/5×5/7×ABDです。したがって,ABD+AFE=(1+2/7)×ABD=9/7×3/5×ABC=27/35×ABCとなります。ABCから引けば四角形の面積になるので,8/35倍です(②)。

【別解答】①三平方無し
(*から開始)△AFEと△CHEはBF:FH=AB:FC=3:2,かつ,∠AFB=∠CHF=90°なので相似になります。したがって,AF:CH=3:2⇔AF=3/2×CHとなり,AF=3/2×5/3×FD=5/2×FDなので,2/5倍です。

【別解答】②直接
FDCはABCの2/7×2/5=4/35倍です。CEF=3/5×CHF=3/5×4/9×AFB=3/5×4/9×3/5×5/7×ABC=4/35×ABCです。足すと,8/35倍になります。


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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
ひし形
はじめてカキコミます。
小5の息子に負けじと算数を解いている一介の算数パパです。

ABDEは対角線が直行しているからひし形になりますよね?そうなると、AB//DEなので、△ABC∽△EDC。
AF:FD=AB:ED=BC:DC=5:2
ということで答えは2/5、こちらの方が人に説明するにはシンプルかと思い、投稿させて頂きました。
2016/01/27(水) 17:33:05 | URL | BOM #EfClkGcc [ 編集 ]
小5というと完全に受験期突入で大変かと思いますが,頑張ってください。

ABDEがひし形ならAF=FDになってしまいます。
また,BD//AEなのでABCが三角形にはなりません。

ひし形になる条件には対角線が中点で交わる,もしくは,辺の長さが等しいという条件が追加で必要になります。
2016/01/28(木) 09:52:02 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
訂正
うっかりしてました、ひし形ではなく、単なる台形ですね。

でも、対角線が直行する四角形は上底と下底が平行になりますよね?だから対角線×対角線×1/2で面積が求められるはずですし。

要はAB//DEに気づけばすぐ解けそうですが、それをちゃんと証明するのが難しいんですかね。
2016/01/28(木) 10:24:19 | URL | BOM #EfClkGcc [ 編集 ]
連投ごめんなさい
対角線が直行しても、タコ型の場合、対辺は平行になりませんね。
反例があるので、やはり、この解き方は正しくなさそうです。

色々な解法を考えるのは楽しいですね。
どうも、失礼しました。
2016/01/28(木) 10:29:13 | URL | BOM #EfClkGcc [ 編集 ]
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