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灘中学校2016年算数第2日目第3問
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解説

斜線部分がどこに行くかは頂点のみで考えます。位置を考える場合は縦と横を個別に光源からどれくらいの距離にあるのか考えてやるとよいでしょう。(3)は立体が少し想像しにくいので計算できなかった人もそれなりにいそうです。

(1)
斜線部分を反時計回りにALMNとします。Pから各頂点に直線を引いて考えてやります。PからALMNまでは高さ3cm分なので,ABCDから3cm下に行ったところで図のように各辺と重なります。

nada_2016_math2_a3_1.png

A'L'M'N'の上側の直方体から四角すい台ALMN-A'L'M'N'を引いたものになります。四角すい台はP-LMNとP-L'M'N'の辺の相似比が1:2であることから,P-L'M'N'の1-1/2×1/2×1/2=7/8倍です。したがって,直方体が立方体の半分で,P-L'M'N'が1/3なので,6×6×6×(1/2-7/8×1/3)=36×5/4=45となります。

【別計算】
作図までは同じです。光の当たっている所を平面MM'N'N,および,MNを含んでABCDに垂直な面で切って3分割します。MM'N'Nの右はNN'Dを底面とする三角柱で面積は立方体の1/2×1/2×1/2=1/8で,LL'Bを含むものも三角柱でさっきの半分1/16であり,残った真ん中の図形はMに集まる感じの三角錐です(底面は3cm×3cmの直角二等辺三角形)。したがって,その体積は1/8×1/2×1/3=1/(16×3)です。

以上から,6×6×6×(6+3+1)/(16×3)=45です。

(2)
解き方は変わりません。図のALMN-M'N'の図形が影です(DQ=6なのでQNのAD方向は6下がって3左なので立方体の角と一致します。などと縦横それぞれ考えていけば作図できます)。
nada_2016_math2_a3_2.png

平面MM'N'Nで切ってやれば,影の部分はANN'を底面とする高さABの三角柱から,M'に集まる感じの三角錐を引けばいいので,1/4-1/12=1/6です。したがって,光が通るところは6×6×6×(1-1/6)=180となります。

(3)
これも正直解き方はおなじです。いい加減にしてください。(3)だけでいいのではないかと思います。作図の都合もあり,M'は立方体の手前の平面上の点です。BS=4,N'R=3/2,UM'=1です(光源の位置がAD方向にAから2,高さ方向に4であることから比で計算できます)。
nada_2016_math2_a3_3.png

またもや平面MM'N'N(MWM'TN'NVは全部同一平面)で切ってやって,台形柱NN'RD-VTWC,三角柱BSL-VUM,三角錐M-VUM'に分けて考えてやります。
NN'RD-VTWC=(3+3/2)÷2×6×6=81
BSL-VUM=3×4÷2×3=18
M-VUM'=1×4÷2×3÷3=2
したがって,81+18+2=101です。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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