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灘中学校2016年算数第2日目第4問
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解説

交換したものからAを引いているので,交換による増減を整理できるかにつきます。

(1)
ある桁とある桁を交換するとどうなるかを考えます。例えば2と8ならば,2があった桁6増えて,8だった桁は6減ります。したがって,
6×(10000000-10)=6×9×1111110だけ増えています。2数の差が10になることはないので,1111110に当たる部分が1000で割れる必要があります。つまり,千の位より左で交換が起こることが必要です。6個の数字から2つ選ぶことになるので,6×5÷2=15が答えです。

(2)
37は素数なので,1111110にあたる部分が37で割れる必要があります。適当に何倍かしてみると(例えば1111110=111111×10なので,1の連続部分が37で割れる必要があり,37の7とかけて1になることから3が一の位の数です),3×37=111が得られます。1111のような場合には111×10+1のようになるので1が3の倍数個だけ続いているもの以外は割れません。

したがって,間に差が3,6個数字が入る交換が考えられます。
3差:(1,4)~(6,9)の6通り
6差:(1,7)~(3,9)の3通り
したがって9通りです。

(3)
差×9×(1が桁数差分)×10何個か
というようになるので,9はとりあえず36回出てきます。3の回数でいうと72回です。
差の部分が3で割れるのは差が3の時と6の時で,(2)より9通りあります。また,(1が桁数差分)が3の倍数になるのも同じときです(9の倍数にはなりえません)。

以上より,72+9+9=90です。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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