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灘中学校2016年算数第2日目第5問
nada_2016_math2_5q.png

解説

一番出っ張っている辺と辺同士を結んでやることに気付けたかと,差分でうまく考えられたかどうかです。

(1)

面の方向は縦横高さの3方向から逆向きも含めて見れるので,基本は6面です。これに新たにできる斜めの面を足してやります。作図すると,次のように同じ方向を向いた辺の内で最も出っ張っている辺同士をつなげてあげる感じになります。
nada_2016_math2_a5_1.png

濃淡で染めた3面が新しくできるので,面の数は9面になります。


次のように増加してるものはどう計算してもよいのですが,例えば次の4つに分けます。三角柱MNE-BCF,四角すいE-AMND,四角すいD-NEGL,三角柱DNL‐IPH(PはAの立方体におけるIの下の頂点とします。)順に体積を出していけば,
三角柱MNE-BCF=1×2÷2×1=1
四角すいE-AMND=1×1×2÷3=2/3
四角すいD-NEGL=1×2×1÷3=2/3
三角柱DNL‐IPH=1×1÷2×1=1/2
したがって,全体積はもともとの5も足すので,
5+1+2/3+2/3+1/2=7+5/6です。

(2)

(1)と同様というか,一つ足されているだけなので,(1)をベースに考えます。変化がある部分のみ描いてやると,
nada_2016_math2_a5_2.png

という感じになります。薄いDXYIがDGHIの代わりだと思えば,色が濃い目の4面分だけ増えているので,13面です。


正直めんどくさいだけな気もしますが,三角柱aGX-cRS,bYH-dTU,三角すいD-aGX,I-bYH,D-aXYb,I-DBPYに分けて考えます。
三角柱aGX-cRS+bYH-dTUは二つ合わせて1です(立方体の半分です)。
三角すいD-aGX,I-bYHは二つ合わせて四角すい相当で,1×1×1÷3=1/3
三角すいD-aXYb=1×1×1÷3=1/3
三角すいY-I-DBPY=1×1÷2×1÷3=1/6
したがって,追加された立方体の体積1も加えて,7+5/6+1+1+1/3+1/3+1/6=10+2/3となります。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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