ひたすら受験問題を解説していくブログ
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慶應大学医学部2013年数学第1問
keio_med_2013_math_1q.png
(1)>(3)>(2)ぐらいの難易度順です。ここで失点しているようでは合格は厳しいのではないでしょうかという問題です。

解答


(1)こういう問題は苦手なので若干苦戦したりしてます(求めるべきsin2θは角度の統一を図ると、2sinθcosθなので、与えられた式からこれを作ってやろうと二乗しましたが、直接はでずに結局因数分解になってしまいました。)二乗すると9sin2θ+6sinθcosθ+cos2θ=9⇔-4cos2θ+3sinθcosθ=cosθ(3sinθ-4cosθ)=0。ここで、0<θ<π/2からcosθは0にならないので、3sinθ=4cosθ、すなわちtanθ=4/3となり、sinθ=4/5、cosθ=3/5となるため、sin2θ=2sinθcosθ=24/25です。

(2)最終的に求めるものが指数になっているxとyを使ったものなので対数を取ります。(1/x)log7=log9⇔x=(log7)/log9、(1/y)log63=log3⇔y=(log63)/log3。
よって2x-y=2(log7)/log9-(log63)/log3=(log7)/log3-(log9+log7)/log3=-2

(3)
(i)平面の方程式をax+by+cz=1とすると、A,B、Cの値を代入すれば、(1/2)x+(1/√2)y+z=1であることがわかる。これに垂直なベクトルは(1/2、1/√2、1)です(原点を通る平行な平面(1/2)x+(1/√2)y+z=0を考えてやれば、この平行な平面上の任意の点(x,y,z)と(1/2、1/√2、1)の内積は0になる)。
keio_med_2013_math_1a_1.png
(ii)
keio_med_2013_math_1a_2.png
(iii)AB上をs:1-sに内分する点を考え、これがPになる条件を調べる基本問題です。
keio_med_2013_math_1a_3.png
となり、2:1が答です。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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