ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2016年前期数学第1問
todai_2016_math_q1.png

解説

一見すると堅そうな問題なのでギョッとしますが,とりあえず定石から当てはめていくとそれで解けてしまう簡単な問題です。

とりあえず言いたいことは,左辺の最大値<e<右辺の最小値なので,最大最小を求めてやります。

(i)左辺<e
まあ微分ですが,そのままだとつらいので,掛け算割り算(指数)でめんどくさいものはlogをとってやります。logは単調増加なので示すべきは
todai_2016_math_a1_1.png
この左辺をf(x)とでもすると,f(0)=0,f(+∞)=1なので,単調増加だといいなと思いつつ微分します。
todai_2016_math_a1_2.png
f'(x)>0を言いたいので,もう一回微分です。
todai_2016_math_a1_3.png
この結果からf'(x)>0が示せたので,単調増加です。eはx→+∞なので,任意のxに対して左辺<eです。

(ii)e<右辺
一見うまくいくかは不明ですが,同じことをしてみます。右辺のlogをg(x)とすると,
todai_2016_math_a1_4.png
x→0ではlogx+1/x→+∞を無条件で使ってますけどこれぐらいいいでしょう。単調減少だといいなと思いながらもう一度微分,
todai_2016_math_a1_5.png
したがって,g’(x)<0となり,単調減少なので,無限に飛ばしたものが最小です。
todai_2016_math_a1_6.png

(i)(ii)より示されました。

東京大学2016年前期数学に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/628-295f8109
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック