ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2016年前期数学第4問
todai_2016_math_q4.png

解説

角度の条件を表してやるだけですが,相似形に着目できれば別解答のように速攻解ける問題です。

各頂点の条件を出します。z=x+yiとします。
(i)角Aが鋭角
Aを原点に持ってくれば,A’(0),B’(z-1),C’(z2-1)となります。z-1=wとでもしてやると, A’(0),B’(w),C’(w(w+2))となります。対称性より,0≦arg(w)≦πとしてよいです(逆回転すると考えると同じ図形になるので)。0≦arg(w)≦πのとき, A’ B’と A’ C’のなす角はw+2に等しくなるので(0≦arg(w+2)≦πです),arg(w+2)が虚軸より右にあればOKです。つまり,Re(w+2)>0⇔Re(z)=x>-1となります。

(ii)角Bが鋭角
Bを原点に持ってきて同じことします。A’(1-z),B’(0),C’(z(z-1))となり,1-z=wとすると,A’(w),B’(0),C’(w(w-1))となり,(i)と同様にRe(w-1)>0⇔Re(z)=x<0となります。

(iii)角Cが鋭角
Cを原点に持ってくると,A’(1-z2),B’(z(1-z)),C’(0)となり,C’AとC’Bのなす角が±π/2の範囲に収まればOKです。したがって,z≠1の下で(z=1はそもそも三角形ではない)
todai_2016_math_a4_1.png

(i)~(iii)より,下図の境界線を含まないものになります。
todai_2016_math_a4_2.png

【別解答】
Aを原点に持ってきてA’(0),B’(z-1),C’(z2-1)ですが,z-1で割っても回転と倍率を変えるだけなので図形は相似です。したがってA’’(0),B’’(1),C’’(z+1)を考えます。∠A’’C’’B’’はA’’B’’を直径とする円を考えれば,鋭角なので円の外側にC’’があればよく,∠A’’B’’C’’はC’’がB’’における接線よりもA’’側,∠B’’A’’C’’はA’’における接線よりもB’’側にあればよいので,z+1は下図の領域になり,平行移動してzをもとめると,解答の図になります。
todai_2016_math_a4_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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