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東京大学2016年前期数学第5問
todai_2016_math_q5.png

解説

一見難しそうですが,よくよく読んでみればそんなことはない普通の問題です。ここのところ第5問は理三向けだったんですが,今年は残念な感じです。(3)は(2)を利用する何かがあるのでしょうか?

(1)
ルートがうざいので,外してやります。謎の小数をαと置くと,
todai_2016_math_a5_1.png
todai_2016_math_a5_2.png


(2)
pで同じことをします。
todai_2016_math_a5_3.png

pの値から2・10-k p>1,またα2<(α+10-k)2なので,右辺-左辺>1となり,少なくとも一つのnが存在します。

(3)
sが平方数でない時に無理数-有理数=有理数になっているので,その矛盾を突きます。成立していると仮定します。

(i)sが平方数の時
左辺=0であり,右辺=0となりak≠0の定義に矛盾します。

(ii)sが平方数ではない時
√sが無理数ならば右辺は有理数になりません。なので,√sの無理数性を示します。sは平方数ではないので素因数分解したときに,偶数乗になっていない素数dが存在します。s=Rd2m-1とおけます(Rとdは互いに素)。また,√sは有理数だとすると,√s=p/qなる互いに素の整数p,qが存在し,

√s=p/q⇒sq2=Rd2m-1q2=p2

したがって,p2はd2m-1で割れます。すると,p=rdw  (2w≧2m-1)のようになるので,

Rd2m-1q2=r2d2w
⇒Rq2=r2d2w-2m+1
2w-2m+1≧1よりq2はdで割れなければならなくなり,互いに素という仮定に反します。

よって,√sは無理数となり,元の示すべき事項も成立しません。

(i)(ii)よりそんなsは存在しません。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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