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東京大学2016年前期数学第6問
todai_2016_math_q6.png

解説

置き方が少し難しいかもしれませんが,z軸に回転対称であることがわかれば必然です。

(a)(b)およびz≧1という条件はz軸に関するもののみで,x,yに無関係なのでz軸に回転対称です。z軸からの距離をrとして一本引いてやれば下図のようになり,
todai_2016_math_a6_1.png
これをz軸周りに回転させたものを考えればいいので,z=tにおける断面を考えます。Bのz座標(Bz)とz=tにおける線分ABまでのz軸からの距離(h)はそれぞれ
todai_2016_math_a6_2.png

z=tでBz>tなるrを求めると(rの範囲によってはhの取りうる範囲が0からではなく,中抜けの円になってしまいますのでz=t断面で共有点を持ちうるrを検証しています。その結果からhの範囲がわかります),
todai_2016_math_a6_3.png
となるので,あとは普通に回転して積分,
todai_2016_math_a6_4.png


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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