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東京大学2016年前期物理第1問
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解説

理三や上位合格狙いじゃない人も満点を狙っていい問題です(一応III(2)(3)が立ちはだかる気はしますけど)。IIIが重心周りの単振動を導出させる問題ですが,正直なところ東大受験生なら類題を何問も難問も解いたことあるでしょう。また,計算はあまり煩雑にならないように問題の方が適当に文字において使わしてくれています。

I
(1)
完全弾性衝突なので反発係数と運動量保存則です。求めるものが反発係数にそのまま出てくるので,そちらだけで求まります。
todai_2016_phy_a1_1.png

(2)
こっちはこれに運動量保存則を追加して連立方程式を解きます。
todai_2016_phy_a1_2.png
最後のv'2を求めるところはMとmを置き換えて±反転してもOKです。

次に高さHですが,結局のところM/m→∞でv'1は3vになるので,運動エネルギーは9倍です。したがって,位置エネルギーも9倍にならねばならないので9倍です。

【別解答】
M/m→∞ならば壁がvで小球1に迫ってくることと変わりません。壁基準の座標系で小球1は-2vなので,衝突後は2vになります。壁基準を解除すると,3vになります。したがって9倍です。

II
(1)
M=3mにはその理由があるのでしょう。入れてみると小球2の直前の速度v2=0となります。したがって,
todai_2016_phy_a1_3.png

(2)
力学的エネルギーが保存っていうのは弾性衝突と考えてOKということなので,Iと同じ感じで解きます。
todai_2016_phy_a1_4.png

【別解答】座標変換による問題の同一化
同じ感じでということは座標変換をうまく使えば同じ問題にできるということですね。v1/2で運動する系から観測すれば,小球1と小球2がv1/2,-v1/2でぶつかる問題になります。したがって,符号に注意してI(2)に代入し,v1/2を足して元の座標系に戻すと,
todai_2016_phy_a1_5.png

(3)イ
各線からここまでは絞れます。
実線(重心)なら,小球2が浮く前は-mgの力,浮いた後は-4mgの力なので,傾きが負で急になっているイウエに絞れますが,運動量保存則が成立するので速度が急に変わるエはだめです。

点線(小球1)なら,(2)でマイナスで半分になっているのでイエに絞れます。

破線(小球2)なら,初めは0で正になり,小球1と絶対値は同じなので,イエに絞れます(私には絶対値が同じに見えないですけど)。

個人的には破線と点線って同じものだと思っていたので,そこの方が本問より難しかったです。

III
(1)
小球2の運動方程式を考えれば,
todai_2016_phy_a1_6.png

(2)
v1を使えとあるので,そこ基準のエネルギー保存則で行きます(要するにバネなのでこれぐらいしか手がないですね)。
todai_2016_phy_a1_7.png

wは実数なので,
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【別解答】振動中心周りの保存則
振動中心は-mg/kなので,ここからの保存則ならば重力の位置エネルギーは内包されています。
todai_2016_phy_a1_9.png

(3)
重心は外力である重力のみを受けるので加速度はgとなり,重心周りでは各小球にかかる重力は慣性力で打ち消されます。したがって,運動方程式は以下のようになります。ゴムの復元力は両者の位置の差から自然長を引いたものになることに注意し,単振動の証明は”加速度=負の定数×位置”の形なので,相対位置の方程式にしてやります。
todai_2016_phy_a1_10.png
(Δlが十分小さいので半周期分とみなせます。)

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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