ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年前期数学第1問
todai_2013_math_1q.png

行列(もしくは複素数)による回転で解くことができます。与えられた2段目の式より、
todai_2013_math_1a.png
つまりnを一つ増やすことは、θ回転しつつ、距離を定数倍である√(a2+b2)していく操作になります。
よって(i)を満たすためには距離がP0(距離が0ではなく1)とP6で変わってはならないため、(a2+b2)3が1でなければなりません。よってa2+b2=1になります。
また、0≦θ=kπ<2πとするとP6がP0になるためには、6kπ=2mπとなる0以上の整数mが存在しなければなりません(OP0およびOP6がx軸となす角は一致するので)。よってk=m/3になります。
ここで、0≦kπ<2πより、m=0,1,2,3,4,5に絞れます。

さて、(ii)の条件より、n=6で初めてP0に戻ってくるので、m/3とかけて2の倍数となる整数で最小のものが6でなければなりません。もし、mが6の因数ならば、6/m<6をm/3にかけると2になってしまいダメです。また、m=0もm/3が2で割れてしまいます(m=0は変化しない操作)。
よって、m=1,5であり、この時実際に角度を計算してみると(ii)の条件を満たしていることがわかります。
よって(a,b)=(1/2,±(√3)/2)
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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