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京都大学2017年特色入試数学第1問
kyodai_2017_tokumath_q1.jpg

解説


ただの三項間数列とドモアブルな感じ問題です。条件の方も複素数的に考えればそんな難しいこと言ってません。一般入試に毛が生えた程度といったところでしょうか?

まずは特性方程式を解いて三項間漸化式を処理しますが,解がきれいにならないので(大学生的にはeの複素数乗でものすごくきれいですが)適当にα,βと置きます。入力がめんどくさいのでcoskπr=ck,sinkπr=sk,ベクトルを複素数pnと置いています。
kyodai_2017_tokumath_a1.png
kyodai_2017_tokumath_a1_2.png
αとβは長さ1の偏角πrの複素数なので,ドモアブったら,
kyodai_2017_tokumath_a1_3.png
となります。代入すると,
kyodai_2017_tokumath_a1_4.png
さて,意味深な”rが有理数”という条件を使っていないのでこの意味を考えると,r=p/q (pとqは互いに素)と置いた場合,πrは正2q角形の実軸から反時計周りに数えてp番目の偏角です(実軸上はカウントしてません)。また,さっき求めた不等式の意味するところは,頂点をp個ごとに反時計回りに選んだ場合に,前後に選んだものと虚軸の符号が変わらない(0は同じ符号とする)ということです。つまり,すべての整数kに対して次のようなnが存在しないことになります。
kyodai_2017_tokumath_a1_5.png
y=qx/pだと思えばもう自明と言っていいでしょう。あるx=kにおいてyが非整数をとると1違いの整数に挟まれてダメなので,q/pは整数でなければなりません。よって,p,qが互いに素ならば,p=1となります。つまり,r=1/q (qは2以上の整数)

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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