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京都大学2017年特色入試数学第3問
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解説

長文問題がきて,去年のあいつみたいな問題かとワクワクしながら読んだ結果の糞設問です。結構簡単目だと感じます。一般入試でも特別難しくない感じです。

(1)
お決まりの帰納法です。
(i)n=1のとき
先手必勝ていうか負けることすら許されません。
(ii)n=kまで成立と仮定
n=k+1の状態から適当に石をとるとn=m (m≦k)の状態になります。仮定よりこの状態も先手必勝か後手必勝のはずです。
考えうるすべてのmについて,先手必勝ならば勝ち筋が無かったことになるので後手必勝です。考えうるすべてのmについて後手必勝が一つでもあればその手を選べば勝てるので先手必勝になります。
よって,先手必勝か後手必勝かのいずれかです。

(i)(ii)よりすべての自然数nで先手か後手必勝です(どんな数を引くルールを設けても成立するっぽいですね)。

(2)
だるいので大きい数から攻めます。21×21=441でこれを除くと,15になります。ここで後手の手は9,4,1があります。
9なら残りが6になるので4を除けば残りが2,後手は1しか引けないので1残って勝ちです。
4なら残りが11になります。1除けば10になって問題文の例より後手さんに道はありません。
1なら残りが14になりますが,4除けば10になって同上です。
したがって,先手必勝です。

(3)
整数nが無限に多く→最大のnが存在するで背理法,なのは整数論とかのお決まりのパターンです。
後手必勝となる最大のn(=kとする)が存在するとすると,それ以降はすべて先手必勝となります。矛盾を言いたいので先手必勝だと思ったらいつの間にか負けていた的な感じなので,どんな数を除いても先手必勝のn(kより大きければ先手必勝)になってしまえば証明できます。
(N+1)2-N2=2N+1なので,十分大きなNをとれば2N+1>k+1となります。この場合n=N2+k+1から除ける最大の数はN2ですが,k+1以上残るので必勝のパターンになり,後手が勝つことになってしまいます。これは矛盾するので後手必勝に最大のnは存在しません。
したがって,nは無限に多く存在します。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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