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2016年第2回東大実戦第6問

Q

今年の第2回東大実戦第6問です
断面が楕円になることがどうやって分かるのか知りたいです

A

模試の問題掲載はさすがにダメなのかなと思ったので考え方だけで。
教え子にも聞かれたのですが,解答では式をいじいじして判断しているようですね。正直なところ読むに堪えない感じなので流し読みですが・・・。なのであの解答は忘れていいです。

・直感的な説明
もともとの図形も,z=2の図形も同じだ円であり,長軸短軸がz=2の方では回転しています。この図形を作る際に,z=2に回転させていない楕円を設けて,楕円柱を作り,そのあとに回転させること(ねじる)を考えれば,途中にできる図形はなんとなく楕円が第一選択肢になると思いませんか?だって元が楕円から回転した楕円に滑らかに移っていっているのですもの。

・数学的な説明
一般的に説明します。元の図形を複素数P(α),回転・伸長に使う複素数をωとします。めんどくさいのでz=1に回転した図形(Rとする)を載せて元の図形と結びます。そしてz=t,つまりt:1-tに内分します(元の図形側がtとし,内分した点をSとします)。座標表記は(x,y,z)を(x+yi,z)としています。

P:(α,0)
R:(ωα,1)
S:(ωαt+(1-t)α,t)=((ωt+1-t)α,t)

これは単純にαにtが決まれば定まる複素数をかけているだけです。すべての複素数は回転と伸長に分解できるので,回転させた後に|ωt+1-t|倍した図形になっています。つまり,その2乗が面積の倍率になります。

この話は楕円という特殊なもとの問題に戻っても当然に成立します。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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