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東京大学2001年後期数学第3問
todai_2001_koki_math_3q.png


依頼があったのでとりあえずこの大問だけ。

解説

高校生には題意が把握しにくい問題かもしれません(大学生はルベーグ積分でお馴染みですね)。ある関数f(x)に対して,特定の値域に入るxの幅を求めて足してあげている感じです。
値域からxを求めるので逆関数的に考えますが,2次関数の場合だと根号が出てきてめんどくさいため直線で挟んでやります(求めるのは極限ですし)。考える際には極限に飛ばしていること,Iのとり方が任意であること,及び,整数だけ値がずれても一般性は失わないのでf(x)=ax2として良いでしょう。
下の参考図で分かるように,ある値域に該当するxの幅は,増加単調関数ならば傾きの大小と逆になります(図ではc<a<b)。
todai_2001_koki_math_3a_1.png

二次関数部分を数学的に厳密に行くならば,値域の端になる点を結んで直線にすれば2次関数とその直線に対応するxは等しくなり,直線として扱うことができます。

さて,本問ではx=k,k+1で接線を考えると(それぞれ直線lk,lk+1),平均値の定理と導関数の単調性から次のことが言えます(値域の下限と上限に対応するxをそれぞれα,βとしています)。
todai_2001_koki_math_3a_2.png

つまり考えている値域の2次関数に対応するxの幅はlk,lk+1に対応するxの幅で挟めます。
ここでTkの話に戻ると,Tkに含まれる集合は,P(x)がk≦x≦k+1の間で円Cを何周もしてしまうため,いくつも存在します。個々を求めて足してやらねばなりません。2次関数のままだと大変ですが,直線ならば簡単です。

試しに,lkでやってみると(長さをLkとします),2ak周してますがP(x)の角度の増え方は一様なので,L/2π×(k+1-k)=L/2πになります。lk+1も2a(k+1)周してますが同様にL/2πとなります。
ただ,これでは示せていません。挟み方は傾きの大小と逆になるので,一周一周に対してはLk+1<Tk<Lkとなりますが,周数は傾きの大小と同じになるため,総和としてはLk+1<Tk<Lkと言えません。そのため,周数は2次関数に統一してやる必要があります。周数はf(k+1)-f(k)=a(2k+1)です。よって,周数の比をかけてやればよいので,

todai_2001_koki_math_3a_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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