ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学1997年後期数学第1問
todai_1997_koki_math_1q.png


依頼があったのでとりあえずこの大問だけ。

解説

(1)はぱっと見ではよくわからなければ,試行錯誤で規則を予測していくしかないでしょう。(2)は数学系の人間にはゴミみたいな問題ですが,高校生にはなじみは薄いのかもしれません。有限個スタートなので高々有限個であることを逆手にとって,有限個なんて無視できるよねと行きます。

そんなことより問題文長いし作図きついしなんなんですかこの問題。

(1)
とりあえずn=0から黙々と描いてみると,
todai_1997_koki_math_1a_1.png
ここで思いつきたい規則としては,
1.nが1増えるとジグザグは平面に,平面はジグザグになる(∵ジグザグは間と両端に三角形が入り,平面は各三角形が一辺で染まっていない領域に触れているため)
2.n=2以降では平面とジグザグが交互の6角形である(角形の数は増えない)(∵数学的帰納法で平面とジグザグが隣ならば接合部分に新しい辺ができない)
であり,更に数の関係として,平面の一辺にいる三角形をsn,ジグザグの一辺にいる三角形をtnとすると(n=2でそれぞれ2になるカウント方法とします),
3.
todai_1997_koki_math_1a_2.png
(∵ジグザグの間と両端が染められ,平面には各辺の数だけ新しいジグザグができるので)

連立漸化式を計算していけば(一つ一つもとめてもいいですがan+1-anの形に注目したいです),
todai_1997_koki_math_1a_3.png

(anの階差では重複分=ジグザグと平面の境界の6個を引いています。)
この式はn=0,1でも成立します。

(2)有限個ということは,塗りつぶされた各三角形の距離も有限なので,あるNが存在し,aNが有限個塗りつぶした三角形をすべて内包できます。したがって,bn≦an+Nであり,当然an≦bnでもあるので,はさみうちの原理より,答えは1になります。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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