ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年前期数学第2問
todai_2013_math_2q.png
割ったり色々すると微分のしやすさなどが変わることを利用した問題です。知っていればい
けるが、知らないと半分ひらめきの世界です。一応の考え方は、普通に微分すると三角関数とxと定数aがまじってカオスになるため、どれかを消せないかという着想だったりします。

x>0より、xでかけたり割ったりしてもOK。なので微分時にaをきれいに消すためにxで除したもので考えます。
todai_2013_math_2a_1.png
となります。x>0よりh'の符号はcosxの符号の逆になります。よって負でない整数nを用いて表せば、
todai_2013_math_2a_2.png
となります。x→0のとき∞に発散すること、および、nが増えるに従って極小値の絶対値や極大値の絶対値が単調に減少することから、グラフは図のような概形になり、x軸が①、②から③の境界を含まない部分に来るときに解を3つ持ちます。
todai_2013_math_2a_3.png

それぞれの接している部分でのh(x)との関係から①が-2/(5π)-a=0、②が、2/(7π)-a<0、③が2/(3π)-a>0となるので、a=-2/(5π)、2/(7π)<a<2/(3π)のとき解を3つ持つことになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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