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京都大学2017年特色入試数学第2問
kyodai_2017_tokumath_q2.jpg

解説

結局積分の置換でいいのが見つけられるだけの問題です。こういう問題は事故率が高いので入試には向かない思うのは私だけでしょうか。とりあえずルートの形から何通りかの置き方は想定できるので色々やって簡単そうなものを見つけるしかないですね。

(1)
x2+1を置き換える要領で,
kyodai_2017_tokumath_a2_1.png
kyodai_2017_tokumath_a2_2.png

(2)
とりあえず正なのは被積分関数が常に0より大きいので良いでしょう。有理数であることは(1)のa2で出てきた部分積分を繰り返すとよさそうなことが推測できるので,それを活用して証明します。なんとなく一般化します。

任意の非負整数kに対して非負整数mで次の積分が奇数を分母にもつ有理数で表されることを示します。
kyodai_2017_tokumath_a2_6.png

(i)m=0のとき
kyodai_2017_tokumath_a2_3.png

kの値によらず整数/奇数です。分母が偶数になることはありません。

(ii)m=p-1で成立すると仮定
kyodai_2017_tokumath_a2_4.png

前半の分数はkの値によらず整数/奇数であり,仮定より後半も整数/奇数となります。したがって全体も整数/奇数です。

(i)(ii)より示されました。

本問はこの特殊なケースなので成立しています。

【別解答1】
ルートごと置くときれいに行きます。あまり試行錯誤したくない形ですけどね。
kyodai_2017_tokumath_a2_5.png

各項は整数/奇数になるので,その和は整数/奇数です。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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