ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2013年前期数学第3問
todai_2013_math_3q.png
偶奇性がポイントになってくる問題です。Aの勝利で終わるときには何回コインを投げていなければならないかという話です。恐らく漸化式でいけるのでしょうが、直接求める方法でいきたいと思います。

(1)
色々書いてみると、考えられるパターンとしてBが0点、Bが1点でAが勝利のパターンが考えられます。以下、表記上AはAが表、A'はAが裏、BはBが表、B'はBが裏を出した場合とします。
基本的にA'B'A'B'A'B'・・・・A'B'そしてラストにAという配列を元に考えます(配列Ωとでもしておきます。A'B'のセットにAなので投げた回数は奇数です)。
(i)Bが0点
ΩのどこかにAを入れてやればできます。Ωの回数は奇数であるため、Aを入れた後のものは偶数でなければなりません。そのため、n=2kとします。
次に、Aが入りうるところはA'の前と、ラスト前のB'のあとです。ここでA'B'のセットはk-1あるので、Aが入れる箇所はk箇所になります。決まった配列に対して、該当するものを選んでいく(裏表を決めていく)のでk/22kが確率になります。nに戻してやると、でn/2n+1

(ii)Bが1点
(i)に更にBを追加してやればOKです。そのため、奇数回になります。n=2k-1とします。
(i)でn=2(k-1)を考え、それにB加えてもいいですし、AとBを加える前の段階2k-3回のコイントス、A'B'A'B'A'B'・・・・A'B' AにAを加えてBを加えてもOKです。なので、k-2+1=k-1通りのAの加え方があって、BはB'の手前なので、k-2通り考えられます。よって(k-1)(k-2)/22k-1が確率になります。nにもどしてやると、(n-1)(n-3)/2n+2

(2)偶数奇数で異なるものはセットで考えるとよいです(n→∞でp(n)→0なのでセットのみで考えてOK)。よって
todai_2013_math_3a_1.png
で求まります。カッコ内の第1項の無限和をS、第2項のをM、第3項をUとします。
todai_2013_math_3a_3.png

S+M+U=40/27-20/9+4/3=16/27
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/66-dda4df55
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック