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東京大学2017年前期数学第3問
todai_2017_math_q3.png

解説

普通の複素数の問題です。特に面白い点もございません。zの条件式の垂直二等分線の表記を知っていたか否かが大きいのではないでしょうか。(2)は(1)の利用を考えられたかですね。

(1)
垂直二等分線の定義にwを代入していきます。
todai_2017_math_a2_1.png

w=1/zでwは原点にはなれないことから,中心1/α,半径1/α|の円から原点を除いたものになります。

(2)
βとβ2の線分は-1と原点の二等分線に含まれます。したがって,中心-1,半径1の円から原点を除いた図形の内で,|z|≦1すなわち|w|≧1を満たす図形です。したがって,
todai_2017_math_a2_3.png

【別解答】反転
|z||w|=1であり,zとwの偏角は逆回りなだけなので,原点中心の半径1の円に対して反転して実軸に対称移動したものになります。
(1)
直線は無限遠を含むので原点を通り(ただし無限遠はzは満たさない設定),一番近いα/2の移動点である2/αも通ります。
また,原点からの1/αの直線は移動後の円にも直交するため直径を通ります。
よって1/αを中心とした半径1/α|の円から原点を除いたものになります。

(2)
反転の性質上,円の内の点は外に移動します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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