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東京大学2017年前期数学第4問
todai_2017_math_q4.png

解説

少しは数学っぽいのでしょうけど,定期テスト感が否めません。(3)までは必須。(4)も誘導が無ければ難しいかなという感じですね。

(1)
todai_2017_math_a4_1.png

(2)
とりあえず形を作ってみます。
todai_2017_math_a4_2.png

(3)
帰納法で行きます。(4)の都合上,自然数というか偶数を示します。
(i)n=1,2
(1)より成立します。

(ii)n=1,k-1,k (k≧2)で成立すると仮定
todai_2017_math_a4_3.png
偶数同士の積と偶数の和は偶数なのでn=k+1でも成立します。

(i)(ii)より,すべての自然数nで偶数になります。つまり自然数でもあります。

【(3)別解答】二項定理
todai_2017_math_a4_4.png
整数の和なので整数です。


(4)
最大公約数をdとすると,(3)と漸化式より,an-1もdで割れます。延々と繰り返していけば,a2もa1もdで割れます。したがって,dは18と4の最大公約数の約数です。つまり2か1です。また,(3)で偶数であることを証明しているので,2が最大公約数です。

漸化式がユークリッド互除法になっていたりします。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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