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東京大学2017年前期数学第6問
todai_2017_math_q6.png

解説

本年で唯一普通の難易度の問題です。円錐と言えばベクトルでサクッと曲面を求めたいとこです。

(1)
下図のような感じです。OQ固定なので,点PはOQを中心にくるくる回るだけです。つまり,OQとPの距離,√3/2の円です。
todai_2017_math_a6_0.png

したがって,
todai_2017_math_a6_1.png

角度は,OPもOAも固定なので,PAの長さに依存します(余弦定理でもOを中心とする半径1の円や球(APが弦)でもイメージしてください)。
PAが一番近いときはy=0のx正で平面上で90°-60°=30°,PAが一番長いときはx負で90°+60°=150°です。
したがって,30°≦θ≦150°

(2)
x=0上を動くということは(1)で考えた図形をx軸周りに回転させてできる図形です。(1)の図形の断面を考えてから回転させても同じなので,OPが(1)で作る局面を求めます。OQとなす角が60°なので,曲面上の点S(x,y,z)とすると,
todai_2017_math_a6_2.png

の0≦z≦1/2部分です。x=kでの断面を考えますが,回転するので結局は一番近いところと一番遠いところしか必要ではないです。回転軸からの距離ををrとし,zの範囲がk/√3≦z≦1/2となることに注意して,
todai_2017_math_a6_3.png

となります。
回転させているので普通に積分します。
todai_2017_math_a6_5.png

【(2)別解答】
角度がθのOPはy=0平面からは傾いていますが,x軸周りに回転させてしまえばもはや関係ないです。したがって,(1)で求めたθの範囲な半径1の円の扇形をx軸周りに回転させたと考えても同じ図形になります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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