ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年前期数学第4問
todai_2013_math_4q.png
恐らくベクトルで解けということなんでしょうが、ベクトルベクトルした解法は予備校さんにゆずります。

(1)図形を描くと以下の感じです。与えられている0ベクトルとなる式ですが、ポイントはこれが単位ベクトルの和であることです。つまり、すべての長さが1であり、これが上手く平行移動すれば正三角形になるということです。CBはピタゴラスって出しています。
todai_2013_math_4a_1.png

この比から、∠ACB=30度、∠ABC=60度の直角三角形です。三角形の内側にある点なので、∠APC>∠ABC=60度①、∠BPC>∠BAC=90度②ということがわかります。単位ベクトルを組み合わせると辺が1の正三角形を1周することから、ベクトル同士は60度または120度の角でなければなりません。よって、①,②より∠BPC=∠APC=120度となり、∠APBも120度になります。

(2)PA=a、PB=b、PC=cとすると、Pと頂点ABCのうちの二つの頂点からなる3つの三角形の面積と、Pにおける角の余弦定理より、
todai_2013_math_4a_2.png
となるが、②~④のうちで、二つを足し、1つを引くと次の3式が得られる。
todai_2013_math_4a_3.png
a≠0なので、
todai_2013_math_4a_4.png
であり、①にでもどれにでも代入すればa>0よりa=1/√7、b=2/√7、c=4/√7を得る。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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