ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年前期数学第5問
todai_2013_math_5q.png
解き方が悪いのか、題意を勘違いしているのか数学の問題として微妙に感じます。この辺は京大との違いでしょうか。

(1)
単純に展開して引きます。真ん中={(x+y)2-1}(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3-x-yとなります。
真ん中-左辺=3xy2+y3-x-y=x(3y2-1)+y3-y>0となります。y≧1であることから、x>y(1-y2)/(と3y2-1)なります。1-y2≦0、y>0、3y2-1>0なので、x>0では常に成立します。
次に、右辺-真ん中=x2+(1-3y2)x-y3+y>0、これをf(x)とでもすれば、f(0)=-y3+yになりますが、これはy≧1より0以下になります。また、軸は(3y2-1)/2なので、これも正となります。よって、f(x)=0の解のうち大きいものよりもxが大きいときに右辺>真ん中は成立します。
todai_2013_math_5a.png
(2)誘導的にyを好き勝手に定めたときの(1)を使います。x=10kとして充分大きなkをとれば、(1)の成立条件を満たします。するとx>3y-1ならば、左辺では10000・・・・{3y}・・・・00000という形が出てきて、右辺では10000・・・・{3y+1}・・・・00000という形が出現します。ここで3yが1が99桁のもの(3で割れるのでOK)を代入してやれば、(1)の真ん中は、10000・・・・{1}×99 X・・XXXXXXXというようになります(10000・・・・{1}×99 0・・・0000と10000・・・・{1}×98 2・・・0000にはさまれるので)。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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