ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2017年算数1日目第9問
nada_2017_math1_9q.png

解説

比が分かっている辺に沿って頂点を移動していき,底辺や高さの比から面積比にしていくことが定石です。しかしながら,本問ではGを(に)移動することができないという問題が生じてしまいます。
このような場合には,Gに関する比を求める必要があり,方法としてはGの比を使う方法と使わない方法で同一のものを表してやることが考えられます。

三角形ABCをいろいろいじって三角形FDEを作ってみます(なんとなく一番外の大きい三角形を作ることが好みです)。このときも本問はいやらしく,移動を工夫しないとできないようになっています。関連している影響度を考慮するとBまたはCの後にAの順に動かしていくのでしょうが,それではAが移動できません。そのため,三角形FDEを分割してやります。

FDE=FAD+FAE+DAE
FAD=3×1×ABC (B→F,C→D)
FAE=4×3×ABC (C→F,B→E)
DAE=1×3×ABC (C→D,B→E)
∴FDE=18×ABC

今度はAGとFGの比を使ってやると,FG=kAGとします。
FDE=1×3×k×ABC (C→D,B→E,A→F)
よって,k=6
FAD=3×ABC=(6-1)×ADG (G→F)
より3/5

【別解答1】邪道(過程不要のところを受ける受験生は大学受験生も含め覚えておくと良い手法です)
与えられている条件だけで答えが1つに求まるならば,他の条件は何でもいいです。置きやすいように置いてしまっていいので,下図のように置きます。

nada_2017_math1_9a_1.png

あとはただの直線の交点なので簡単な数学の問題です。比から
E(3,0)
F(-3,4)
Gは直線DE(y=x/3-1)とFA(y=-4x/3)の交点なので,Gのx座標は3/5です。AC=AD,AB=1なので3/5倍です。

【別解答2】ベクトル(高校生向け)
ベクトルの三角形の公式を使って両方の面積を求めます。ABをb,ACをcベクトルとします。FとEを求めて交点Gを出してやればでます。あとは適当に頑張ってください。計算めんどいです。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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