ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2013年前期数学第6問
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煩雑です。通常ではあり得ない切り口を考えるため、なれない受験生には全く手がつかないかもしれません。ただ、(1)は自分で出した面積を使った体積積分が簡単に求まる回転軸による体積と同じになることが確認できるので、時間があまったら検算も可能です(今回のセットであまるのはアレな人だけな気がしますが)。

体積が面の積分であることや面積が線の積分であることの理解、2つの平面で上手く作図して立体を思い浮かべられることなどが求められるのでしょうか。とりあえず,サクッと行けるベクトルでの解法も別解答で載せておきました。

(1)(図のBとDが逆でした。修正しときました。)
yz平面で切るので、yかzを固定して考えます。とりあえずyを固定して、そのyでV1にはさまれているzの長さを求めてyについて積分します。下手な図を描くと次のようになります。
todai_2013_math_6a_1.png
最終的に求めたいのはGFの2倍とその積分です。
GFを求めるためにはMGとMFがわかれば何とかなります。△EMFが直角二等辺三角形になることから、MF=EF/√2=√(2) (t-k)/2になります。MGは円の半径なので下図で考えるとわかりやすいでしょう。
todai_2013_math_6a_2.png
(i)-t≦y≦1のとき図左より、MG=MG'=MB=HI√2={1-(t+k)/2}√2。
(ii)y<-tのとき図右より、MG=MG'=MD=HI√2={(t+k)/2+1}√2
GFを導き出し積分して面積をだすと、
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(2)V2についても同様に考察(xz平面に対する対称性を利用すると早い)してやるとGF/√2は以下の3パターン+1をとる。
todai_2013_math_6a_4.png
短いほうを採択してやればよい。(i)と(iii)、(ii-i)と(ii-ii)の積分は対称性から同じになるので、x=tでの断面は
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になる。-1≦k≦0も同様に考えて-1≦k≦1まで積分するが、対称性より0≦k≦1を2倍すれば体積が出る。
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【別解答】ベクトルによる解法
2017年でもベクトルで円錐が出ていたので,別解答乗せときます。めんどくさいので対称性とか多用してます(わかりにくかったらごめんなさい)。
(1)
求めたい曲面上の点をS(x,y,z)とします。y≧-xの領域では,OBを軸として角度がπ/4の曲面な円錐なので,
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同様にy≦—xの領域ではODを軸としたものですが,y=-xに対して対称なので,yと-xを入れ替えます(途中の式のB由来の1をDの-1に入れ替えてもいいです)。
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これらに囲まれた図形になります(交点がAとCつまりy=-xなところに相当するのは自明なので)
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最後は2次関数の1/6公式です。

(2)
V2は回転軸が変わっていますが,V1のy軸対称ですから,x=tの断面は,(1)の断面にx=-tを代入すれば終わりです。
todai_2013_math_6a_11.png

z2の係数に着目すると1+t>1-t>0なので,グラフの開き具合は(1-t)で割っている方が小さいです。したがって,断面積は共通部分はそれらに囲まれるものになります(z軸対称なグラフになっているので,片方が囲むものを2倍します)。
todai_2013_math_6a_12.png

あとは本解答と同じです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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