ひたすら受験問題を解説していくブログ
2017年第1回東大実戦模試文系数学第2問
nを3以上の整数とする。円周を2n等分する点A1,A1,・・・,A2nから無作為に相違なる4点を選ぶとき,鋭角三角形の3頂点を含む4点を選ぶ確率をpnとする。
(1)p3を求めよ。
(2)p4を求めよ。

解説

模試の問題の解説は著作権的にどうなんでしょうね(駿台さんに怒られたら消します)。普通は3点なんですけど,4点のところが憎たらしい問題です。まずは3点でもいいので鋭角三角形とか,鈍角三角形とかの数え方って大丈夫なのでしょうか?

一番離れている弧が半円以上なら鈍角,半円なら直角ですね。鋭角は半円未満なのですが,すべての角を鋭角にしようとするのは難しく,鈍角と直角を全体から引いてやることが無難でしょう。

本問では”鋭角三角形の3頂点を含む4点”なので,言い方を変えれば”少なくとも一組は鋭角三角形の3頂点を含む4点”であるになります。
本来は(1)で試行錯誤した結果になるのですが,まず四角形を書いてみると次の図のようになり,角の性質として隣り合う頂点が作る弧の円周角(×)と一個飛ばしの頂点が作る円周角(●)があることが分かります。そして,×2つと●1つからすべての三角形は作られています。
sundai_todaijisen1_2017_a2_1.png

(i)隣り合う頂点が作る弧の円周角で直角以上がある場合
一つの三角形で考えてみれば,直角以上になる円周角の隣り合う点は半円以上離れています。点を固定したいので1点を上にとり(反時計回り順に上からABCDと呼びます),最も離れている2頂点をABにします。

この場合,ABもACも対角である(CまたはD),Dは直角以上になります。一方残った三角形はBCDですが,すべての点が半円の右方に押し込められているので,DBは半円以上になります。したがって,Cは直角以上です。

半円から残った3点を選ぶのでnC3通りあります。
固定をはずすには2n倍すればいいので,2nnC3通りです(右にのみ押し込めたのは一周する過程で左押し込めがカウントされるからです)。


(ii)隣り合う頂点が作る弧の円周角がすべて鋭角である場合
すべての×は鋭角です。この場合には●が活躍するしかないです。ここがすべて直角以上なら良いのですが,四角形の対角の和が180°になるため,鈍角には鋭角がセットでついてきてしまします。したがって,すべての●が直角以上になるためには直角しかありえません。

対頂点が自動で決まることからnから2個選ぶだけなので,nC2です。

全体から(i)(ii)のケースを引いたものが求めたい事象なので,
sundai_todaijisen1_2017_a2_2.png


【別解答】
(1)
鋭角三角形になるのは正3角形のみなので,これに1点を追加します。追加の仕方は一種の正3角形あたり3通りなので,3×2=6通りです。全事象は15通りなので,2/5です。

(2)
n=4ぐらいになると鋭角三角形に注目するのはきついのでしょうか?私はミスなく数える自信はありません(重複しそう)。本解答と同じく鈍角のみになる方を数えます。全事象で高々70で,かつ,パッと見で鋭角になるものなんてのは外せます。大した数じゃないでしょう。頑張ってください。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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