ひたすら受験問題を解説していくブログ
2017年第1回東大実戦模試文系数学第3問
sundai_todaijisen1_2017_q3.png

解説

解を持つようにと言われていますが,言い方を変えればこの範囲でx,yを動かすとな領域の図示問題です。通常と違って変数が2つあります。変数が2つあって困るのならば,一つを固定することは定石なのではないでしょうか。

xを固定した場合にどんな図形になるのか考えると,定数+cos,定数+sinなのでただの円です。x,yは自由に動けるので,この定数部分を動かして(xを動かして)終わりです。

考え方によっては,ベクトル(cosx,sinx)と(cosy,siny)を足したものととらえても良いでしょう。こんな感じの問題は日医とか慈恵とかで見たことがある気がします。

いずれにせよ,半径1の半円の軌道を中心に半径1の半円を描くので,下図のようになります(点線は円の中心の軌跡)。
sundai_todaijisen1_2017_a3_1.png

したがって,面積は半径2の半円から半径1の円を引いたものなのでπです。

【別解答】変数変換(大学生以上向け)
変数変換と見なせば定期テストでも簡単な部類ですね。とりあえず関数行列式を計算すると,
sundai_todaijisen1_2017_a3_2.png

のようになります。つまり正方形部分とy=x部分を書いてやれば終わりです。通常では下半分も書いてやる必要がありますが,本問ではxとyは対称なので一方のみでよいです。上半分を書いてやります。
sundai_todaijisen1_2017_a3_3.png
sundai_todaijisen1_2017_a3_4.png

関数行列式=0となる集合の面積は0なので,普通に変数変換で積分できます。
sundai_todaijisen1_2017_a3_5.png
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