ひたすら受験問題を解説していくブログ
2017年第1回東大実戦模試文系数学第4問
a,bはa>0,b<0を満たす実数とする。座標平面において曲線C:y=ax2+bxと曲線D:y=x3が異なる3つの交点をもち,CとDが囲む二つの領域のうち左側の領域の面積と右側の領域の面積の比は5:32である。

(1)bをaを用いて表せ。
(2)aが変化するとき,Cの通過する領域を図示せよ。

解説

こういう問題を私に解かせると言うことは一つです。計算がめんどくさいだけのただの糞問です。数学的な面白さは皆無というかただの通過範囲です。頑張って計算してみます。

(1)
条件を淡々と行くだけなので,異なる三つの交点ということで,連立させてできた式の解の個数を判別式にします。
sundai_todaijisen1_2017_a4_1.png

次に面積です。まず左側から行きますが,積分領域つまり解が分からないので小さい方からr,sと置きます(α,βだと区別が)。Cの軸が正であることに注意してグラフの概形でも書いてやればr,s>0です。
sundai_todaijisen1_2017_a4_2.png

右側の積分は関数の上下が反転していることと,変数を変換してやればもとまることに注意すると,
sundai_todaijisen1_2017_a4_3.png

これが5:32なので,
sundai_todaijisen1_2017_a4_4.png

同次式なので全部をr4で割ってもいいですが,めんどくさいのでそのまま。s=krの形で行けるだろうから,因数定理を使います。両方正なので,1,3,9,27とその5分の1が候補です。
s=3rを代入するときれいに消えるので,(s-3r)で割ると,
sundai_todaijisen1_2017_a4_5.png
となるので,s=3r以外の解は存在しません。あとは代入するだけです。
sundai_todaijisen1_2017_a4_6.png

条件はa>0なので満たしています。

(2)解の存在範囲かx固定で行けばいいです。解の存在範囲なら,a>0で解を持てばいいのですが,rでやった方がきれいです。rも同様にr>0ならいいのでこっちで考えます。
sundai_todaijisen1_2017_a4_7.png

(i)x=0の場合
y=0です。

(ii)x≠0の場合
sundai_todaijisen1_2017_a4_8.png
の解の少なくとも1つが正なので,
判別式≧0
から
1次の項≧0 かつ 定数項≦0
を引いてやればよいです(解と係数ですが,軸と境界で考えても同じ)
sundai_todaijisen1_2017_a4_9.png

前半部分がxの正負によって符号が変わる(x2でもかけてしまってよい)に注意して描くと,次のような領域になります。

sundai_todaijisen1_2017_a4_10.png

境界となっているx軸,y軸は含まず,原点や曲線の境界は含みます。


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