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灘中学校2017年算数2日目第5問
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解説

27通りなので書きだせば余裕です。

(1)
(ア)
ルールを適用するだけです。
A:2134
AC:1342
ACB:3412

(イ)
(ア)で試したところ,Aなら2番目が前に,Bなら2番目と3番目が前に,Cだと2,3,4番目が前に来ます。後ろに行くのはいずれも1番目のみです。
4が先頭ということは4が3回の操作で3回前に来ています。
C,CB,ABC
のパターンなので,
1×2×3=6通り

3が先頭ならば,3は2回の操作で前に来ています。2番目に来てしまうとどの操作でも前に来るので,
A,BC,ABC
1×2×3=6通り

2が先頭ならば,初めにABCの何が来ても先頭になり,その後どこかに移動して1回の操作で戻ってこれなければならないので,
ABC,A,ABC
3×1×3=9通りです。

1が先頭になるのは27から上記の3つを引いたものなので,
27-6-6-9=6通り

【(1)イ別解答】先頭が1の場合
初めにABCの何が来てもどこかに飛ばされます。その後2回で戻ることを考えれば3番目に飛ばされて戻ってくるしかないです。
B,BC,ABC
1×2×3=6通り

(ウ)
3回の操作ですべての並び順が実現できることに触れないと本当はいけないのでしょうが,問題文が重複しているものが3組と教えてくれているので2が先頭のケースで重複が生じていると考えられます。
AAAとBABは上げてくれているので,他のものを考えます。
AAB:2314
AAC:2341
BAA:2314
BAC:2143
CAA:2341
CAB:2431
CAC:2413

よって,2314と2341

【(1)ウ別解答】
AAは元に戻る操作なのでないものと同じです。
すると,AAのどちらにどの操作をしても変わらないです。
したがって,AAB=BAA,AAC=CAAが得られます。

(2)
27通りで重複しているものが3組,全並び替えは24通りなので全部の並び替えが存在しています。
この場合,ある並び替えに対して逆の並び替え(逆セット)が必ず存在することになります。しかしながら問題は重複しているものです。

重複しているもののうち2134は2つペアの交換であり,自分自身の3操作が逆セットになります。それ以外の重複は重複しているもの以外が逆セットになります(2番目が1ではないと逆セットになり得ない)。
すると,9通りは次のように分類できます。

7通り
AAAおよびBBB

前者にはそのままひとつづつ逆セットが,後者は2×2=4通りです。
したがって,11通りになります。

(3)
他の数字が先頭の場合は2314と2341になる3操作の逆セットのみに注意します。つまり,合計2増えることになります。
よって,
11+3×6+2=31通り

【(3)参考】(2)を飛ばしてまとめて考える
27を(2)と同じように分類すると,
27中23については逆セットが1つ存在し(重複しているものの逆セットを除いている),2つについては逆セットがそれぞれ2通り(2314と2341が逆セット),2つについては2134となる3操作自身が逆セットで4通りです。
したがって,
23+4+4=31通り


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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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