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灘中学校2013年算数:第一日目第6問
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これは難問です。1次関数なしでどうやって解くんだろう?とかいう疑問なんてどうでも良くなるぐらいの難易度です。教える側の人間でも解けない人が多いのではないでしょうか。

解答

解法のポイント
  • まずは条件を緩和して考え(高校生向けにいえば必要条件でまず考えてみることや、数が多いものは減らしてみて考える)、そうして出てきたものを利用して場合分け


最終的に求めなければいけないものには、各信号が何秒ずれているかが必要です。そのために、AからBの情報を使います。どの信号も同じ状況(青から黄)で通るので、毎秒11.5mで230m移動する時間と信号の遅れは同じになります。そのため、各信号はBに向かって行くごとに20秒ずつ遅れています。この20秒は信号の周期である60秒の約数なので、各信号のずれは変化しません(周期的になるのでずれる事はずれるのですが元に戻ります)。

今度はBからAにいく場合ですが、これは4つも信号を考えるのは面倒なので、初めと終わりのみ考えます(条件の緩和:4つとも止まらないなら初めと終わりも止まらない)。4つ目は1つ目より60秒早いので、信号の周期を考えるとずれがないことになります。
よこ軸に距離、たて軸に時間をとってグラフを描いてみると下図のようになります。信号のずれは変化しないので1つ目の信号が青になった時刻を0秒として問題ありません。矢印は各信号が青の時間、点線は車の動きです。点線が急なほど遅くなります。
a1-6.png
4つ目の信号の1周目、2周目、3周目で通過する場合はそれぞれ点線①~①’、②~②’③~③’にはさまれた区間になります。
ここで他の信号を導入して点線①~①’間に入るか調べます。2つ目信号では0秒後から8秒後、3つ目の信号では20秒後から48秒後の間で青なので、どのような直線を引いても1つ目と2つ目と3つ目を同時に通れません。
次に点線②~②’の間の場合、2つ目は20秒後から48秒後、3つ目は40秒後から68秒後の間に青信号が入る必要があります(信号3つで60秒ずれるので)。一方、青信号になる時間は2つ目は40秒後から68秒後、3つ目は20秒後から48秒後になります。そのため、2つ目と3つ目の間を40秒後から48秒後の間で通らなければなりませんが、この場合には1つ目の信号を32秒後以降に通り過ぎていることになるのでおかしなことになります。

最後に、点線③~③’の間の場合、2つ目は40秒後から68秒後、3つ目は80秒後から108秒後の間に青信号が入る必要があります。一方、この時間帯で青信号になる時間は2つ目は40秒後から68秒後まで、3つ目は80秒後から108秒後になります。以上から2つ目と3つ目は無視できるので、点線③~③’の最速、230m×4を120秒-28秒で通る場合、毎秒7.5mが正解となります。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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